Question

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 37 см, а его площадь составляет 210 см квадрате. Найдите длины катетов.

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и площадь, воспользуемся следующими формулами:

Площадь прямоугольного треугольника: Площадь = (1/2) * катет1 * катет2

Теорема Пифагора: гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2

Дано: гипотенуза (c) = 37 см площадь (S) = 210 см^2

Мы ищем длины катетов (катет1 и катет2).

Шаг 1: Найдем один из катетов, скажем катет1.

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна (1/2) * катет1 * катет2.

Подставим известные значения: 210 = (1/2) * катет1 * катет2

Шаг 2: Теперь найдем катет2, используя теорему Пифагора:

гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2

Подставим известные значения: 37^2 = катет1^2 + катет2^2

Теперь у нас есть две уравнения с двумя неизвестными (катет1 и катет2). Давайте решим эту систему уравнений.

Шаг 3: Решение системы уравнений.

Из уравнения 1: 210 = (1/2) * катет1 * катет2 Мы можем представить катет2 через катет1: катет2 = 420 / катет1

Теперь подставим это значение в уравнение 2: 37^2 = катет1^2 + (420 / катет1)^2

Раскроем скобки: 1369 = катет1^2 + 176400 / катет1^2

Умножим обе стороны уравнения на катет1^2, чтобы избавиться от знаменателя: 1369 * катет1^2 = катет1^4 + 176400

Приведем катет1^4 на одну сторону: катет1^4 - 1369 * катет1^2 + 176400 = 0

Теперь это уравнение является квадратным относительно катет1^2. Решим его, заменив катет1^2 на переменную x:

x^2 - 1369x + 176400 = 0

Шаг 4: Найдем значения x (катет1^2) с помощью квадратного уравнения.

x = [ -(-1369) ± √(1369^2 - 4 * 176400) ] / 2 x = [ 1369 ± √(1874161 - 705600) ] / 2 x = [ 1369 ± √1168561 ] / 2 x = [ 1369 ± 1081 ] / 2

Теперь найдем два возможных значения катет1^2:

a) x = (1369 + 1081) / 2 = 2250 b) x = (1369 - 1081) / 2 = 144

Шаг 5: Найдем значения катетов катет1 и катет2.

a) Если катет1^2 = 2250, то катет1 = √2250 ≈ 47.43 см, и катет2 = 420 / 47.43 ≈ 8.85 см.

b) Если катет1^2 = 144, то катет1 = √144 = 12 см, и катет2 = 420 / 12 = 35 см.

Таким образом, существуют два возможных решения: а) Катет1 ≈ 47.43 см, Катет2 ≈ 8.85 см. б) Катет1 = 12 см, Катет2 = 35 см.