Question

Известно, что a < 2, b < 2. Докажите, что ab + 4 > 2a + 2b.

Answer 1

Все есть на фотографии.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

У нас дано, что a < 2 и b < 2. Мы хотим доказать неравенство ab + 4 > 2a + 2b.

Для начала, перепишем неравенство, чтобы получить все слагаемые на одной стороне:

ab + 4 - (2a + 2b) > 0

Теперь факторизуем левую сторону неравенства:

ab + 4 - (2a + 2b) = ab - 2a - 2b + 4

Теперь давайте выделим общие множители из первых трех слагаемых:

ab - 2a - 2b + 4 = a(b - 2) - 2(b - 2)

Обратим внимание, что a < 2 и b < 2. Значит, (b - 2) < 0, так как при вычитании из числа меньшего числа, результат будет отрицательным.

Теперь перепишем неравенство:

a(b - 2) - 2(b - 2) > 0

Теперь факторизуем еще раз:

a(b - 2) - 2(b - 2) = (b - 2)(a - 2)

Теперь у нас есть:

(b - 2)(a - 2) > 0

Заметим, что (b - 2) < 0 и (a - 2) < 0. Так как два отрицательных числа, умноженных вместе, дают положительное значение, то (b - 2)(a - 2) > 0.

Таким образом, мы доказали, что ab + 4 - (2a + 2b) > 0, что равносильно неравенству ab + 4 > 2a + 2b.

Итак, мы доказали, что при a < 2 и b < 2, выполняется неравенство ab + 4 > 2a + 2b.