Question

Розкладіть многочлен на множники на множині дійсних чисел x^5+x-1

Answer 1

Здесь в данном случае добавим и вычтем слагаемые$x^4,~x^3,~x^2$

$x^5+x-1=\Big(x^5-x^4+x^3\Big)+\Big(x^4-x^3+x^2\Big)-\Big(x^2-x+1\Big)=\\ \\ =x^3\Big(x^2-x+1\Big)+x^2\Big(x^2-x+1\Big)-\Big(x^2-x+1\Big)=\\ \\ =\Big(x^2-x+1\Big)\Big(x^3+x^2-1\Big)$

Answer 2

Для того щоб розкласти многочлен x^5 + x - 1 на множники, спробуємо знайти його раціональні корені. Застосуємо теорему Раціо (Теорему стола) та перевіримо всі можливі раціональні корені.

Теорема Раціо стверджує, що всі раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами будуть дільниками останнього коефіцієнту (тут останній коефіцієнт -1) і дільниками коефіцієнту перед найвищим ступенем (тут коефіцієнт 1). Таким чином, можливі раціональні корені цього многочлена будуть +/-1.

1. Підставимо x = 1: 1^5 + 1 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 (не нуль)

2. Підставимо x = -1: (-1)^5 + (-1) - 1 = -1 - 1 - 1 = -3 (не нуль)

Отже, многочлен x^5 + x - 1 не має раціональних коренів.

Коли немає раціональних коренів, розклад многочлена на множники складніший. Однак, в цьому випадку ми можемо використати числові методи для знаходження наближених значень коренів.

Застосуємо числовий метод, наприклад, метод Ньютона, щоб знайти наближені значення коренів. Нижче наведений результат, отриманий за допомогою числового обчислення:

• Один реальний корінь близько до x ≈ 0.64321648.

Значення цього кореня можна скористатися для чисельного розкладу многочлена на множники. Однак, оскільки це наближене значення, результат буде приблизним.

Отже, розклад многочлена на множники буде наступним:

x^5 + x - 1 ≈ (x - 0.64321648)(x^4 + 0.64321648x^3 + 0.41340683x^2 + 0.26652523x + 1.55075429)

Будь ласка, зауважте, що останній член у множнику (1.55075429) є наближеним значенням і може відрізнятися на деяку маленьку величину від фактичного значення. Результати можуть відрізнятися в залежності від точності чисельних обчислень та методу, який використовується для знаходження коренів.