Question

Доведите тождество: 75 в степени 8k=25 в степени 6k*45 в степени 4k, если k - натуральное число.

Answer 1

1) ∛(75*45)=∛(3*5*5*5*3*3)=∛(3³*5³)=∛(15³)=15

2)⁴√(10-√19)*⁴√(10+√19)=⁴√(10²-√19²)=⁴√(100-19)=⁴√81=⁴√3⁴=3

3) ∛(125*216)=∛(5³*6³)=∛(30)³=30

4) ∛(54*4)=∛(27*2*2²)=∛(3³*2³)=∛(2*3)³=6

Answer 2

Для того чтобы доказать данное тождество, воспользуемся свойствами степеней.

Имеем:

$75^{8k} = (5^2 \cdot 3)^{8k} = 5^{2 \cdot 8k} \cdot 3^{8k}$

$25^{6k} = (5^2)^{6k} = 5^{2 \cdot 6k}$

$45^{4k} = (5 \cdot 3^2)^{4k} = 5^{4k} \cdot 3^{2 \cdot 4k}$

Теперь докажем равенство $75^{8k} = 25^{6k} \cdot 45^{4k}$:

$5^{2 \cdot 8k} \cdot 3^{8k} = 5^{2 \cdot 6k} \cdot 5^{4k} \cdot 3^{2 \cdot 4k}$

Поскольку основание у всех степеней одинаковое (5 и 3), равенство будет верным, если равны будут их показатели:

$2 \cdot 8k = 2 \cdot 6k + 4k$

Теперь проведем вычисления:

$16k = 12k + 4k$

$16k = 16k$

Таким образом, мы показали, что $75^{8k} = 25^{6k} \cdot 45^{4k}$, и тождество верно для всех натуральных значений $k$.