Question

Доказать, что если p - простое число, больше 2-х, то p^2-5 не делится на 8

Answer 1

вот

р=простое

тогда р+1 делится на 2 и р-1 делится на 2; из двух следующих друг за другом четных чисел одно делится на 4; значит, р-1 или р+1 делится на 4, а оставшееся на 2. их произведение делится на 8

также из тройки следующих друг за другом целых чисел одно делится на 3 => p-1 или р+1 делится на 3

т.к. (р-1)(р+1) делится на 3 и на 8, то делится и на 24

Answer 2

Давайте докажем утверждение от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть предположим, что существует простое число p (больше 2) такое, что p^2 - 5 делится на 8. Это означает, что существует целое число k, для которого выполняется:

p^2 - 5 = 8k.

Теперь давайте рассмотрим квадрат простого числа p:

p^2 = p * p.

Заметим, что каждое четное число можно представить в виде 2n, где n - некоторое целое число. Тогда для любого простого числа p, p - нечетное, следовательно, p можно представить в виде p = 2n + 1, где n - некоторое целое число.

Теперь подставим это значение для p в уравнение p^2 - 5 = 8k:

(2n + 1)^2 - 5 = 8k.

Раскроем квадрат и упростим:

4n^2 + 4n + 1 - 5 = 8k, 4n^2 + 4n - 4 = 8k, 4(n^2 + n - 1) = 8k.

Делим обе стороны на 4:

n^2 + n - 1 = 2k.

Теперь заметим, что левая сторона уравнения является квадратичным трехчленом, и его значение всегда нечетное для любого целого n. С другой стороны, правая сторона уравнения равна 2k, что является четным числом для любого целого k.

Мы пришли к противоречию, так как левая сторона нечетна, а правая сторона четна. Следовательно, наше предположение было неверным, и такого простого числа p, при котором p^2 - 5 делится на 8, не существует.

Таким образом, доказано, что если p - простое число, больше 2, то p^2 - 5 не делится на 8.