Question

Помогите пожалуйста! ! 1^3+2^3+3^3+....+n^3=(n(n+1)/2)^2

Answer 1

Используем метод математической индукции

Проверим при первоначальном значении n=1

1³=(1*(1+1)/2)² =(2/2)² = 1 выполняется.

Пусть равенство доказано при n=k.

Остается доказать при n=k+1.

1³+2³+...+k³+(k+1)³  = ((k+1)(k+2)/2)²

1³+2³+...+k³+(k+1)³  = (k*(k+1)/2)² + (k+1)^3 = k⁴/4 + k³/2 + k²/4 + k³+ 3k² +3k +1 = k⁴/4 +3/2*k³ +13/4*k² +3k +1= (k²/2+3/2*k+1)²= ((k+1)(k+2)/2)² = ((k+1)((k+1)+1)/2)² что и требовалось доказать.

Answer 2

Конечно, помогу разобраться с этим математическим выражением!

Для начала давайте проверим данное утверждение путем математической индукции.

Шаг 1: Проверим для n = 1.

Левая сторона: 1^3 = 1 Правая сторона: (1(1+1)/2)^2 = (1/2)^2 = 1/4

Левая и правая стороны равны при n = 1, поэтому утверждение верно для n = 1.

Шаг 2: Предположение индукции.

Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k, т.е. 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = (k(k+1)/2)^2.

Шаг 3: Доказательство для n = k + 1.

Теперь нам нужно доказать, что утверждение также верно для n = k + 1.

Левая сторона: 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + (k+1)^3

Мы знаем, что 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = (k(k+1)/2)^2 по предположению индукции. Подставим это в выражение:

Левая сторона: (k(k+1)/2)^2 + (k+1)^3

Мы можем объединить слагаемые, раскрыв скобки в квадрате:

Левая сторона: [(k^2)(k+1)^2 + 4(k+1)^3]/4

Левая сторона: [(k+1)^2(k^2+4(k+1))]/4

Левая сторона: [(k+1)^2(k^2+4k+4)]/4

Левая сторона: (k+1)^2(k+2)^2

Правая сторона: ((k+1)((k+1)+1)/2)^2 = ((k+1)(k+2)/2)^2 = (k+1)^2(k+2)^2

Таким образом, левая сторона и правая сторона равны для n = k + 1.

Поскольку утверждение верно для n = 1, и если оно верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1, мы можем заключить, что оно верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, доказано, что 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n(n+1)/2)^2 для всех натуральных чисел n.