Question

Составить уравнение касательной к графику функции (укр. Скласти рівняння дотичної до графіка функції) f(x)=(x-1)/(3-4x) , в точке с абсциссой x0=1

Answer 1

Производная функции равна:

y' = -1/((3 - 4x)²).

Значение функции в точке х = 1 равно 0.

Значение производной в точке х = 1 равно -1.

Получаем уравнение у = 0 + (-1)*(х - 1) = -х + 1.

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{{x-1}}{{3-4x}}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем значение производной функции $f'(x)$. Шаг 2: Найдем значение производной $f'(1)$ в точке $x_0 = 1$. Шаг 3: Используем найденное значение производной в точке $x_0 = 1$ и уравнение касательной для построения уравнения.

Шаг 1: Для нахождения производной функции $f(x)$ найдем производную относительно $x$. Используем правило дифференцирования дробей:

$f(x) = \frac{{x-1}}{{3-4x}}$ $f'(x) = \frac{{(3-4x)(1) - (x-1)(-4)}}{{(3-4x)^2}}$

$f'(x) = \frac{{3 - 4x + 4x - 4}}{{(3-4x)^2}} = \frac{{-1}}{{(3-4x)^2}}$

Шаг 2: Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{{-1}}{{(3-4(1))^2}} = -1$

Шаг 3: Уравнение касательной имеет общий вид $y - y_0 = m(x - x_0)$, где $(x_0, y_0)$ - координаты точки касания, а $m$ - значение производной в этой точке.

Таким образом, для точки $(x_0 = 1, y_0 = f(1))$ и $m = f'(1) = -1$, уравнение касательной будет:

$y - f(1) = -1 \cdot (x - 1)$

Теперь найдем $f(1)$:

$f(x) = \frac{{x-1}}{{3-4x}}$ $f(1) = \frac{{1-1}}{{3-4 \cdot 1}} = \frac{0}{-1} = 0$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$ будет:

$y - 0 = -1 \cdot (x - 1)$

И упростим его:

$y = -x + 1$