Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями а) y=-x^2+1, y= 0, x= -1, x= 1б)y= x^2, y= 0, x= 2, x= -3

Answer 1

$1)\; S=\int\limits_{-1}^1\, (-x^2+1)\, dx=2\cdot \int\limits^1_0\, (-x^2+1)\, dx=2\cdot (-\frac{x^3}{3}+x)\Big |_0^1=\\\\=2\cdot (-\frac{1}{3}+1)=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\\\\\\2)\; S=\int\limits^2_{-3}\, x^2\, dx=\frac{x^3}{3}\Big |_{-3}^2=\frac{8}{3}-(-\frac{27}{3})=\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры ограниченной линиями, нужно определить, какой из графиков находится сверху и какой снизу (в зависимости от ориентации графика относительно оси X). Затем вычислить интеграл функции, представляющей верхнюю кривую, и вычислить интеграл функции, представляющей нижнюю кривую, и найти разность этих интегралов.

а) Для графиков функций y = -x^2 + 1 и y = 0 на интервале [-1, 1]:

График y = -x^2 + 1 расположен выше оси X, а график y = 0 находится ниже оси X.

Интеграл верхней кривой (y = -x^2 + 1): ∫[a, b] (-x^2 + 1) dx = [-x^3/3 + x] от -1 до 1

Интеграл нижней кривой (y = 0): ∫[a, b] 0 dx = 0 от -1 до 1

Теперь вычислим площадь фигуры: Площадь = ∫[a, b] (-x^2 + 1) dx - ∫[a, b] 0 dx Площадь = [-x^3/3 + x] от -1 до 1 Площадь = [-(1)^3/3 + 1] - [(-(-1)^3/3) + (-1)] Площадь = [-1/3 + 1] - [(1/3) - 1] Площадь = [2 - 1/3] - [1 - 1/3] Площадь = 5/3 - 2/3 Площадь = 3/3 Площадь = 1

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = -x^2 + 1 и y = 0 на интервале [-1, 1], равна 1 квадратному единице.

б) Для графиков функций y = x^2 и y = 0 на интервале [-3, 2]:

График y = x^2 расположен выше оси X, а график y = 0 находится ниже оси X.

Интеграл верхней кривой (y = x^2): ∫[a, b] (x^2) dx = [x^3/3] от -3 до 2

Интеграл нижней кривой (y = 0): ∫[a, b] 0 dx = 0 от -3 до 2

Теперь вычислим площадь фигуры: Площадь = ∫[a, b] (x^2) dx - ∫[a, b] 0 dx Площадь = [x^3/3] от -3 до 2 Площадь = [(2)^3/3] - [(-3)^3/3] Площадь = [8/3] - [-27/3] Площадь = 8/3 + 27/3 Площадь = 35/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = 0 на интервале [-3, 2], равна 35/3 квадратных единиц.