Question

Точка E не лежит в плоскости треугольника ABC площадью 36 см². Точки M, N и P лежат соответственно на отрезках EA, EB, EC, причем EM:MA=EN:NB=EP:PC=1:2. Чему равна площадь треугольника MNP? а)4 б)12 в)3 г)18

Answer 1

Рассмотрим ΔEAB и ΔEMN: ∠E - общий, EM : EA = EN : EB = 1 : 3 ⇒ ΔEAB ∼ ΔEMN по II признаку ⇒ ∠EMN = ∠EAB (соответственные) ⇒ MN║AB, MN : AB = 1 : 3. Аналогично рассуждая, NP║BC, MP║AC.

MN и AB, MP и AC - соответственно сонаправленные лучи ⇒ ∠BAC = ∠NMP. Аналогично рассуждая, ∠MPN = ∠ACB.

Рассмотрим ΔABC и ΔMNP: ∠BAC = ∠NMP, ∠MPN = ∠ACB ⇒ ΔABC ∼ ΔMNP по I признаку, k = MN : AB = 1 : 3 ⇒ Smnp : Sabc = k² = 1 : 9 ⇒ Smnp = Sabc : 9 = 36 : 9 = 4 см².

Ответ: а)

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойством, которое гласит, что если три пары точек лежат на сторонах треугольника и делят их в одинаковом отношении, то эти три точки образуют параллельный треугольник с тем же самым отношением сторон.

Таким образом, треугольник MNP будет подобен треугольнику ABC, и соотношение сторон у них такое же: MN : MA = NP : NB = MP : PC = 1 : 2.

Площадь треугольника пропорциональна квадрату длины его стороны. Так как стороны параллельных треугольников имеют одно и то же отношение, площади треугольников будут иметь отношение квадратов этих сторон.

Исходный треугольник ABC имеет площадь 36 см². Обозначим стороны треугольника MNP через x, 2x и 2x (согласно задаче).

Тогда площадь треугольника MNP равна (1^2 : 2^2) * 36 = 1/4 * 36 = 9 см².

Ответ: б) 9.