Question

написать уравнение плоскости проходящей через точки P(1,1,-2) и Q(3,-2,-1) и перпендикулярной плоскости 4x-2y-z-3=0

Answer 1

Написать уравнение плоскости проходящей через точки P(1,1,-2) и Q(3,-2,-1) и перпендикулярной плоскости 4x-2y-z-3=0.

Если дано уравнение плоскости, то известна нормаль N к этой плоскости: N = (4; -2; -1).

Для искомой плоскости нормаль N будет параллельным вектором n.

Точки P(1,1,-2) и Q(3,-2,-1) .

Вектор PQ = ((3-1=2; -2-1=-3; -1-(-2)=1) = (2; -3; 1).

Составим уравнение плоскости П как плоскости, проходящей через точку  Р(1,1,-2) параллельно векторам  →PQ (2; −3; 1) и →n = (4; -2; -1).

x - 1           y - 1             z + 2              x - 1           y - 1

  2              -3                 1                   2               -3

  4               -2               -1                   4               -2    

∆ =  a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

 =   a11•a22•a33 + a12•a23•a31 + a13•a21•a32 - a13•a22•a31 - a11•a23•a32 - a12•a21•a33

∆ = (x - 1)*(-3)*(-1) + (y - 1)*1*4 + (z + 2)*2*(-2) - (z + 2)*(-3)*4 - (x - 1)*1*(-2) - (y - 1)*2*(-1) = 4x - 4 + 4y - 4 - 4z - 8 + 12z + 24 + 2x - 2 + 2y - 2 = 6x + 6y + 8z + 4 = 0.

Или, сократив на 2, получаем искомое уравнение плоскости:

3x + 3y + 4z + 2 = 0.

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(1, 1, -2) и Q(3, -2, -1) и перпендикулярной плоскости 4x-2y-z-3=0, выполним следующие шаги:

1. Найдем вектор нормали для исходной плоскости 4x-2y-z-3=0. Коэффициенты перед x, y и z дают нам вектор нормали (4, -2, -1).

2. Найдем вектор, направленный из точки P(1, 1, -2) в точку Q(3, -2, -1): Вектор PQ = (3-1, -2-1, -1-(-2)) = (2, -3, 1).

3. Поскольку искомая плоскость перпендикулярна исходной плоскости, то вектор нормали искомой плоскости должен быть параллелен вектору PQ.

4. Найдем векторное произведение векторов нормали и искомой плоскости и вектора PQ, чтобы получить вектор нормали для искомой плоскости: Новая векторная нормаль = (4, -2, -1) x (2, -3, 1).

   Для нахождения векторного произведения, используем формулу: i j k 4 -2 -1 2 -3 1

   Новая векторная нормаль = ( (-2) - (-1), (1) - (2), (4*(-3)) - ((-2)*2) ) = (-1, -1, -14).

5. Итак, мы нашли вектор нормали (-1, -1, -14) для искомой плоскости.

6. Теперь, имея вектор нормали и проходящую через точку P(1, 1, -2), можем записать уравнение искомой плоскости в общем виде: a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0,

где (x₀, y₀, z₀) - точка на плоскости (в нашем случае P(1, 1, -2)), a, b, c - компоненты вектора нормали (-1, -1, -14).

Подставляем значения: -1(x - 1) - 1(y - 1) - 14(z - (-2)) = 0, -(x - 1) - (y - 1) - 14(z + 2) = 0, -x + 1 - y + 1 - 14z - 28 = 0, -x - y - 14z - 26 = 0.

Итак, уравнение искомой плоскости, проходящей через точки P(1, 1, -2) и Q(3, -2, -1) и перпендикулярной плоскости 4x-2y-z-3=0, это:

-x - y - 14z - 26 = 0.