Question

Написать уравнение плоскости ,проходящей через точки P и Q и перпендикулярной к заданной плоскости P (-1,2,1) ;Q(3,-4,1) 3x+2y-5Z -10=0

Answer 1

$P(-1,2,1)\in \pi \; ,\; \; Q(3,-4,1)\in \pi \; ,\\\\\pi \perp \pi _1\; \; ,\; \; \pi _1:\; 3x+2y-5z-10=0\; ,\; \; \pi \, =\, ?\\\\\vec{n_1}=(3,2,-5)\; \; ,\; \; \overline {PQ}=(4,-6,0)\; \; ,\\\\\vec{n}_1\parallel \pi \; \; ,\; \; \overline {PQ}\in \pi \; \; \Rightarrow \; \; \vec{n}=\vec{n}_1\times \overline {PQ}\; \; ,\; \; \vec{n}\perp\; \pi \\\\\vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&2&-5\\4&-6&0\end{array}\right|=-30i-20j-26k\\\\\\A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\\\\-30(x+1)-20(y-2)-26(z-1)=0\; \Big |:(-2)$

$15(x+1)+10(y-2)+13(z-1)=0\\\\\pi :\; 15x+10y+13z-18=0$

Answer 2

Для начала, мы можем найти вектор нормали к заданной плоскости, так как он будет параллелен вектору, который перпендикулярен плоскости. Вектор нормали можно найти из коэффициентов уравнения плоскости:

(3x + 2y - 5z - 10 = 0)

a = 3, b = 2, c = -5

Вектор нормали:

n = <3, 2, -5>

Затем мы можем найти вектор, направленный от точки P до точки Q:

v = <3 - (-1), -4 - 2, 1 - 1> = <4, -6, 0>

Теперь мы можем найти вектор нормали к искомой плоскости, который должен быть перпендикулярен к обоим векторам:

n2 = n x v = | i j k | | 3 2 -5 | | 4 -6 0 | = -30i - 20j - 18k

Мы получили вектор нормали для искомой плоскости. Теперь остается только найти координаты плоскости, зная, что она проходит через точки P и Q. Используем уравнение плоскости в общем виде:

Ax + By + Cz + D = 0

Заполним известные значения:

-30x - 20y - 18z + D = 0 (коэффициенты при x, y, z равны координатам вектора нормали)

Теперь подставим координаты одной из точек (например, P) для определения D:

-30(-1) - 20(2) - 18(1) + D = 0

D = -12

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки P и Q и перпендикулярной к заданной плоскости, будет выглядеть так:

-30x - 20y - 18z - 12 = 0