Question

Найдите предел lim ((cos 3x - 1)/ sin x^2) x→0

Answer 1

воспользуемся свойсвтом эквивалентоно малых 1-cosx ~x^2/2 sinx~x

вспоминаем про эквивалентно малые (1-cos3x)~9x^2/2 и sinx^2~x^2,$\lim_{x \to \ 0 }lim ((cos 3x - 1)/ sin x^2)= \lim_{x \to \ 0}((-1+cos3x)/sinx^2)= \lim_{x \to \ 0} (-9x^2/2x^2)=-9/2$тогда

Answer 2

Для нахождения предела данной функции при $x \to 0$, воспользуемся правилом Лопиталя, если существует нулевая дробь $\frac{0}{0}$ или бесконечность $\frac{\infty}{\infty}$ при $x \to 0$.

Итак, давайте найдем предел функции: $\lim_{{x \to 0}} \frac{\cos(3x) - 1}{\sin(x^2)}$

Начнем с вычисления предела вида $\frac{0}{0}$: $\lim_{{x \to 0}} \frac{\cos(3x) - 1}{\sin(x^2)} = \frac{0}{0}$

Теперь применим правило Лопиталя. Возьмем производную числителя и знаменателя по $x$: $\lim_{{x \to 0}} \frac{-3\sin(3x)}{2x\cos(x^2)}$

Теперь, подставим $x = 0$: $\lim_{{x \to 0}} \frac{-3\sin(3x)}{2x\cos(x^2)} = \frac{-3\sin(0)}{2\cdot 0\cdot \cos(0)} = \frac{0}{0}$

Опять получили $\frac{0}{0}$, поэтому снова применим правило Лопиталя: $\lim_{{x \to 0}} \frac{-3\sin(3x)}{2x\cos(x^2)} = \lim_{{x \to 0}} \frac{-9\cos(3x)}{2\cos(x^2) - 4x\sin(x^2)}$

Теперь подставим $x = 0$ еще раз: $\lim_{{x \to 0}} \frac{-9\cos(3x)}{2\cos(x^2) - 4x\sin(x^2)} = \frac{-9\cos(0)}{2\cos(0) - 4\cdot 0\cdot \sin(0)} = \frac{-9}{2}$

Таким образом, исходный предел равен $\frac{-9}{2}$.