Question

3x-1/x исследовать функцию

Answer 1

Это не точно, но вроде так

Answer 2

Для исследования функции f(x) = (3x - 1) / x, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции (то есть значения x, при которых функция определена).

2. Найти точки пересечения с осями координат.

3. Найти асимптоты (вертикальные, горизонтальные и наклонные).

4. Найти интервалы монотонности и экстремумы (минимумы и максимумы).

5. Найти значения функции при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности.

Исследуем функцию по этим шагам:

1. Область определения: Функция определена для всех значений x, кроме x = 0, так как в знаменателе не может быть нуля (деление на ноль не определено).

2. Точки пересечения с осями координат: Для найти точку пересечения с осью x, приравняем функцию к нулю и решим уравнение: (3x - 1) / x = 0 3x - 1 = 0 3x = 1 x = 1/3

Таким образом, у функции есть одна точка пересечения с осью x: (1/3, 0).

Теперь для найти точку пересечения с осью y, подставим x = 0 в функцию: f(0) = (3 * 0 - 1) / 0 Функция не определена в x = 0, поэтому у нее нет точки пересечения с осью y.

3. Асимптоты: а) Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота возникает там, где знаменатель функции равен нулю (при x = 0). Однако, мы уже исключили этот случай, так как функция не определена при x = 0.

б) Горизонтальная асимптота: Для определения горизонтальной асимптоты, при x, стремящемся к бесконечности (x → ±∞), изучим поведение функции в пределах "бесконечности": lim (x → ∞) (3x - 1) / x = lim (x → ∞) (3 - 1/x) = 3 lim (x → -∞) (3x - 1) / x = lim (x → -∞) (3 - 1/x) = 3

Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота y = 3.

в) Наклонная асимптоты: Для того чтобы определить наличие наклонных асимптот, необходимо вычислить предел функции при x, стремящемся к бесконечности (x → ±∞). В данном случае у функции нет наклонных асимптот.

4. Интервалы монотонности и экстремумы: Для нахождения интервалов монотонности найдем производную функции и исследуем ее знак:

f(x) = (3x - 1) / x f'(x) = (x * d/dx(3x - 1) - (3x - 1) * d/dx(x)) / x^2 f'(x) = (3x - 1 - 3x) / x^2 f'(x) = -1 / x^2

Производная равна -1 / x^2. Из этого следует, что функция f(x) убывает на всей области определения (кроме x = 0), так как производная отрицательна.

Таким образом, у функции нет экстремумов, а интервалы монотонности - это интервалы, на которых функция убывает.

5. Поведение функции на бесконечности: lim (x → ∞) f(x) = lim (x → ∞) (3x - 1) / x = lim (x → ∞) (3 - 1/x) = 3 lim (x → -∞) f(x) = lim (x → -∞) (3x - 1) / x = lim (x → -∞) (3 - 1/x) = 3

Функция при x, стремящемся к бесконечности, приближается к значениям 3.

Итак, результаты исследования функции f(x) = (3x - 1) / x:

• Область определения: x ≠ 0
• Точка пересечения с осью x: (1/3, 0)
• Точка пересечения с осью y: нет
• Вертикальная асимптота: нет
• Горизонтальная асимптота: y = 3
• Наклонных асимптот нет
• Интервалы монотонности: функция убывает на всей области определения (кроме x = 0)
• Экстремумы: нет
• Поведение функции на бесконечности: функция приближается к значению 3.