Question

Решите уравнение: x^3−2x^2=100x−200

Answer 1

На картинке............

Answer 2

Для решения данного уравнения, нужно привести его к стандартному кубическому уравнению вида: x^3 + px = q.

Давайте перенесем все члены в одну сторону:

x^3 - 2x^2 - 100x + 200 = 0

Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме. Сравним его с общим кубическим уравнением: x^3 + px = q.

Мы можем сделать замену: x = y - b/3, чтобы избавиться от члена второй степени (y - b/3)^3. Здесь b = -2 (коэффициент при x^2).

x = y + 2/3

Теперь подставим в уравнение:

(y + 2/3)^3 - 2(y + 2/3)^2 - 100(y + 2/3) + 200 = 0

Раскроем скобки:

(y^3 + 2y^2 + 4y/3 + 8/27) - 2(y^2 + 4y/3 + 4/9) - 100y - 200/3 + 200 = 0

Упростим:

y^3 + 2y^2 + 4y/3 + 8/27 - 2y^2 - 8y/3 - 8/9 - 100y - 200/3 + 200 = 0

y^3 - (2/3)y - 100y + 200 - 8/27 + 8/9 - 200 = 0

y^3 - (202/3)y + 8/27 = 0

Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме. Мы можем применить формулу для решения кубических уравнений:

y = (q/2 + (q^2/4 + p^3/27)^(1/2))^(1/3) + (q/2 - (q^2/4 + p^3/27)^(1/2))^(1/3)

где p = -202/3 и q = 8/27.

Подставим значения и найдем y:

y = (8/54 + (8/729 + (-202/3)^3/27)^(1/2))^(1/3) + (8/54 - (8/729 + (-202/3)^3/27)^(1/2))^(1/3)

y = (8/54 + (8/729 + (-1331/27))^(1/2))^(1/3) + (8/54 - (8/729 + (-1331/27))^(1/2))^(1/3)

y = (8/54 + (8/729 - 1331/27)^(1/2))^(1/3) + (8/54 - (8/729 - 1331/27)^(1/2))^(1/3)

y = (8/54 + (-1064/729)^(1/2))^(1/3) + (8/54 - (-1064/729)^(1/2))^(1/3)

y = (8/54 + (-32/27i))^(1/3) + (8/54 - (-32/27i))^(1/3)

y = (4/27 + (8 - 864i)^(1/3)) + (4/27 - (8 - 864i)^(1/3))

y ≈ 1.7666 + 0.3474i, y ≈ -0.8833 - 1.2098i, y ≈ -0.8833 + 0.8624i

Теперь найдем значения x, подставив обратную замену:

x = y + 2/3

Для каждого значения y, найдем соответствующее значение x:

1. x ≈ 1.7666 + 0.3474i + 2/3 ≈ 2.4332 + 0.3474i
2. x ≈ -0.8833 - 1.2098i + 2/3 ≈ -0.2166 - 1.2098i
3. x ≈ -0.8833 + 0.8624i + 2/3 ≈ -0.2166 + 0.8624i

Итак, уравнение имеет три комплексных корня:

x ≈ 2.4332 + 0.3474i, x ≈ -0.2166 - 1.2098i, x ≈ -0.2166 + 0.8624i.