Question

Знайдіть найбідьше і найменше значення функції g(x)=cos(x) + x - sin п/2 для x∈[-п; п]

Answer 1

G(x) = cos x + x - sin π/2, x є [-π; π]
Неперервна функція набуває найбільшого або найменшого значення лише на кінцях відрізку, або у точках екстремуму.
Знайдемо точки екстремуму:
g’(x) = 1 - sin x
1 - sin x = 0
sin x = 1
x = π/2 + 2πn, n є Z
Проміжку [-π; π] належить лише значення x = π/2.
g (-π) = cos (-π) + (-π) - sin π/2 = -1 - π - 1 = -π - 2
g (π/2) = cos (π/2) + π/2 - sin π/2 = 0 + π/2 - 1 = π/2 - 1
g (π) = cos π + π - sin π/2 = -1 + π - 1 = π - 2
g max = g (π) = π - 2
g min = g (-π) = -π - 2

Answer 2

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції g(x) = cos(x) + x - sin(π/2) на інтервалі x ∈ [-π, π], спочатку визначимо похідну цієї функції і знайдемо її критичні точки. Потім перевіримо значення функції в цих точках, а також на кінцях інтервалу, щоб знайти найбільше і найменше значення.

1. Знаходження похідної: g'(x) = d/dx(cos(x) + x - sin(π/2)) g'(x) = -sin(x) + 1

2. Знаходження критичних точок: Щоб знайти критичні точки, прирівняємо похідну до нуля: -sin(x) + 1 = 0

sin(x) = 1

Записавши значення sin(x) = 1, ми знаємо, що це відбувається при x = π/2.

3. Знаходження значення функції g(x) в критичних точках та на кінцях інтервалу: Тепер, щоб знайти найбільше і найменше значення функції g(x), обчислимо її значення в x = π/2 та на кінцях інтервалу x = -π та x = π.

g(π/2) = cos(π/2) + π/2 - sin(π/2) = 0 + π/2 - 1 = -1/2

g(-π) = cos(-π) - π - sin(π/2) = -1 - π - 1 = -π - 2

g(π) = cos(π) + π - sin(π/2) = -1 + π - 1 = π - 2

Таким чином, найбільше значення функції g(x) на інтервалі [-π, π] є π - 2, а найменше значення є -π - 2.