Question

ДАЮ 30 БАЛОВ, СРОЧНО! Доказать, что a²+b²+2≥2(a+b)

Answer 1

a^2+b^2-2a-2b +1+1 \geq 0\\
(a-1)^2+(b-1)^2 \geq 0\\

  

сумма  квадратов всегда больше или равно 0

Answer 2

Хорошо, докажем неравенство a² + b² + 2 ≥ 2(a + b) для любых действительных чисел a и b.

Доказательство:

1. Начнем с левой стороны неравенства: a² + b² + 2.

2. Заметим, что мы можем переписать 2 как 1 + 1, чтобы преобразовать выражение:

   a² + b² + 2 = a² + b² + 1 + 1 = (a² + 1) + (b² + 1).

3. Теперь, используем амплитудное неравенство для двух чисел:

   Для любого действительного числа x, верно, что x² + 1 ≥ 2x.

   Применим это неравенство к обоим выражениям в скобках:

   a² + 1 ≥ 2a b² + 1 ≥ 2b.

4. Теперь, сложим эти два неравенства:

   (a² + 1) + (b² + 1) ≥ 2a + 2b.

5. Полученное выражение справа совпадает с правой стороной исходного неравенства 2(a + b), таким образом:

   (a² + 1) + (b² + 1) ≥ 2(a + b) = a² + b² + 2 ≥ 2(a + b).

Таким образом, мы доказали исходное неравенство для любых действительных чисел a и b.