Question

ПОМОГИТЕ С ОБЪЯСНЕНИЕМ! Нам дано уравнение (x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40. Нам необходимо его решить, используя введение новой переменной. Новую переменную обозначим буквой t, получаем, что x^2 + x - 1 = t. Почему, когда мы подставляем переменную в уравнение, то получаем t(t+3)=40? Почему плюс 3? Объясните пожалуйста.

Answer 1

(x²+x-1)*(x²+x+2)=40

(x²+x-1)*(x²+x-1+1+2)=40

(x²+x-1)*(x²+x-1+3)=40

Пусть x²+x-1=t    ⇒

t*(t+3)=40

t²+3t=40

t²+3t-40=0    D=169       √D=13

t₁=5     ⇒

x²+x-1=5

x²+x-6=0    D=25      √D=5

x₁=2      x₂=-3.

t₂=-8     ⇒

x²+x-1=-8

x²+x+7=0     D=-27     ⇒

Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: x₁=2,  x₂=-3.

Answer 2

Для решения уравнения (x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40 с помощью введения новой переменной, допустим, что x^2 + x - 1 = t (как вы указали). Заметим, что второе квадратное выражение x^2 + x + 2 необходимо связать с этой новой переменной t.

Для этого давайте рассмотрим уравнение x^2 + x - 1 = t и добавим 2 с обеих сторон:

x^2 + x - 1 + 2 = t + 2

Теперь мы получили:

x^2 + x + 1 = t + 2

Итак, у нас есть два уравнения:

1. x^2 + x - 1 = t
2. x^2 + x + 1 = t + 2

Теперь вернемся к исходному уравнению:

(x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40

Мы заменили первый множитель (x^2 + x - 1) на t и второй множитель (x^2 + x + 2) на (t + 2):

t(t + 2) = 40

Теперь, чтобы разрешить этот квадратный трехчлен, приведем его к стандартному квадратному уравнению вида at^2 + bt + c = 0:

t^2 + 2t = 40

Перенесем все в левую часть уравнения:

t^2 + 2t - 40 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, квадратного корня или квадратного уравнения. В этом конкретном случае, это уравнение можно факторизовать:

(t + 5)(t - 8) = 0

Таким образом, t может быть равно 5 или -8.

Теперь, чтобы найти значения x, подставим найденные значения t обратно в уравнение x^2 + x - 1 = t:

1. t = 5:

x^2 + x - 1 = 5

x^2 + x - 6 = 0

(x + 3)(x - 2) = 0

x может быть равен -3 или 2.

2. t = -8:

x^2 + x - 1 = -8

x^2 + x + 7 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, что означает, что вещественных корней нет.

Итак, решением исходного уравнения (x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40 являются x = -3, x = 2 и отсутствие вещественных корней для x^2 + x + 2 = 0.