Question

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной координатными линиями, параболой y= 5+4x-x^2 и ее осью симметрии (тема - интегралы)

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции между параболой и её осью симметрии, мы будем использовать интегралы. Первым шагом является нахождение точек пересечения параболы с её осью симметрии.

Парабола задана уравнением: y = 5 + 4x - x^2

Её осью симметрии является вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы. Поскольку парабола имеет вид y = ax^2 + bx + c, то ось симметрии будет проходить через точку, в которой x координата равна -b/2a. В нашем случае, a = -1, b = 4, поэтому x = -4 / (2 * -1) = 2.

Теперь нам нужно найти точки пересечения параболы с её осью симметрии. Это будут точки, в которых y = 0.

Подставим x = 2 в уравнение параболы, чтобы найти y: y = 5 + 4 * 2 - 2^2 y = 5 + 8 - 4 y = 9

Итак, точки пересечения: (2, 0) и (-2, 0).

Теперь, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, нам нужно взять интеграл от модуля функции параболы между точками (-2, 0) и (2, 0).

Площадь криволинейной трапеции (S) вычисляется следующим образом:

S = ∫[a, b] |f(x)| dx

где f(x) - функция параболы, |f(x)| - модуль функции параболы.

Интеграл от модуля функции параболы будет разбит на два интервала: от -2 до 2 и от 2 до -2 (поскольку модуль функции всегда положителен).

Для x от -2 до 2: S₁ = ∫[-2, 2] |5 + 4x - x^2| dx

Для x от 2 до -2: S₂ = ∫[2, -2] |5 + 4x - x^2| dx

Обратите внимание, что интервалы для интегралов можно менять местами, поскольку модуль функции делает его всегда положительным.

Теперь вычислим эти интегралы.

Интеграл S₁ (от -2 до 2): S₁ = ∫[-2, 2] |5 + 4x - x^2| dx S₁ = ∫[-2, 2] |-(x^2 - 4x - 5)| dx S₁ = ∫[-2, 2] |x^2 - 4x - 5| dx

Для x от 2 до -2 (так как модуль функции, он не изменяет знак): S₂ = ∫[2, -2] |x^2 - 4x - 5| dx

Теперь найдем интегралы от |x^2 - 4x - 5|.

Интеграл S₁: S₁ = ∫[-2, 2] (x^2 - 4x - 5) dx S₁ = [x^3/3 - 2x^2 - 5x] от -2 до 2 S₁ = [(2)^3/3 - 2(2)^2 - 5(2)] - [(-2)^3/3 - 2(-2)^2 - 5(-2)] S₁ = [8/3 - 8 - 10] - [-8/3 - 8 + 10] S₁ = [8/3 - 18] - [-8/3 + 2] S₁ = -10 - (-2/3) S₁ = -10 + 2/3 S₁ = -28/3

Интеграл S₂: S₂ = ∫[2, -2] (x^2 - 4x - 5) dx S₂ = [-x^3/3 + 2x^2 + 5x] от 2 до -2 S₂ = [-(2)^3/3 + 2(2)^2 + 5(2)] - [(-2)^3/3 + 2(-2)^2 + 5(-2)] S₂ = [-8/3 + 8 + 10] - [-8/3 + 8 - 10] S₂ = [10/3 + 18] - [-10/3 - 2] S₂ = 28/3 - (-16/3) S₂ = 44/3

Теперь сложим площади S₁ и S₂:

S = S₁ + S₂ S = -28/3 + 44/3 S = 16/3

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = 5 + 4x - x^2 и её осью симметрии, равна 16/3 квадратных единиц.