Question

Доказать, что выражение х(в квадрате) +10х+27 принимает только положительное значение при любых х. Какое наименьшее значение принимает выражение и при каком х? Помогите пожалуйста

Answer 1

Выделяем полный квадрат

$x^2+10x+27=(x+5)^2+2.$

Так как первое слагаемое неотрицательное, а второе положительное, то сумма всегда положительна, то есть положительна для всех х. Минимальное значение эта сумма принимает, когда первое слагаемое равно з. Это происходит при х=-5 и равно это минимальное значение 2.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение х^2 + 10х + 27 принимает только положительные значения при любых х, мы можем воспользоваться методом завершения квадрата.

1. Выражение x^2 + 10x + 27 представим в виде суммы полного квадрата и константы, добавленной для компенсации:

   x^2 + 10x + 27 = (x^2 + 10x + 25) + 2 = (x + 5)^2 + 2.

2. Теперь видно, что выражение (x + 5)^2 является полным квадратом. Квадрат любого числа всегда неотрицательный, и он равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. Значит, (x + 5)^2 всегда неотрицательно и равно нулю только при x = -5.

3. Мы добавили константу 2, что не влияет на знак выражения. Таким образом, (x + 5)^2 + 2 всегда принимает положительные значения при любых x, кроме x = -5, где оно равно 0.

4. Таким образом, наименьшее значение выражения (x + 5)^2 + 2 равно 2 и достигается при x = -5.

Проверим это:

При x = -5: (-5 + 5)^2 + 2 = 0^2 + 2 = 2.

При любых других значениях x: (x + 5)^2 + 2 > 0^2 + 2 = 2.

Таким образом, выражение х^2 + 10х + 27 принимает только положительные значения при любых х, и наименьшее значение этого выражения равно 2 и достигается при x = -5.