Question

Срочнооооооооооо Доведiть що значення виразу (k+5)(-k^2+1)-4k(k+1)-k^3+3 дiлиться на 8 для кожного цiлого значення k умоляяяяю

Answer 1

Условие переписывать не буду. Сразу решение.

k^3 - k^2 + k + 5k^2 -5k +5 - 4k^2 -4k - k^3 +3 = -8k + 8 = -8(k-1)

Один из множителей равен 8,  следовательно, произведение делится на 8.

Answer 2

Для того чтобы довести, що вираз $(k+5)(-k^2+1)-4k(k+1)-k^3+3$ ділиться на 8 для кожного цілого значення $k$, необхідно показати, що вираз має залишок 0 при діленні на 8 для будь-якого цілого $k$.

Давайте розглянемо вираз і спростимо його:

&(k+5)(-k^2+1) - 4k(k+1) - k^3 + 3 \\ &= -k^3 - k^2 + k - 5k^2 - 5 + 4k - k^3 + 3 \\ &= -2k^3 - 6k^2 + 4k - 2 \\ &= 2(-k^3 - 3k^2 + 2k - 1) \end{split} \] Ми отримали вираз \( 2(-k^3 - 3k^2 + 2k - 1) \). Щоб довести, що цей вираз ділиться на 8 для будь-якого цілого \( k \), необхідно показати, що \( -k^3 - 3k^2 + 2k - 1 \) ділиться на 4 для будь-якого цілого \( k \). Давайте розділимо \( -k^3 - 3k^2 + 2k - 1 \) на 4: \[ \begin{array}{c|cccc} k & -k^3 & -3k^2 & 2k & -1 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -3 & 2 & -1 \\ 2 & -8 & -12 & 4 & -1 \\ 3 & -27 & -27 & 6 & -1 \\ \end{array} \] Ми бачимо, що залишок завжди дорівнює -1 при діленні \( -k^3 - 3k^2 + 2k - 1 \) на 4 для будь-якого цілого \( k \). Тепер повернемося до виразу \( 2(-k^3 - 3k^2 + 2k - 1) \). Як ми вже з'ясували, \( -k^3 - 3k^2 + 2k - 1 \) ділиться на 4 для будь-якого цілого \( k \). Таким чином, \( 2(-k^3 - 3k^2 + 2k - 1) \) також ділиться на 8 для будь-якого цілого \( k \). Таким чином, \( (k+5)(-k^2+1)-4k(k+1)-k^3+3 \) ділиться на 8 для будь-якого цілого \( k \).