Question

Sinx+sin2x=cosx помогите пожалуйста, 10 класс

Answer 1

$sinx+sin2x=cosx\\\\(sinx-cosx)+sin2x=0\\\\\star \; \; t=sinx-cosx\; \; \Rightarrow \; \; t^2=(sinx-cosx)^2\\\\t^2=(sin^2x+cos^2x)-2sinx\cdot cosx=1-sin2x\; \; \Rightarrow \; \; sin2x=1-t^2\; \star \\\\t+(1-t^2)=0\; \; \Rightarrow \; \; t^2-t-1=0\; ,\; \; D=1+4=5\; ,\\\\t_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt5}{2}\; ,\\\\a)\; \; sinx-cosx=\frac{1-\sqrt5}{2}\; ,\; \\\\\sqrt2\cdot (\frac{1}{\sqrt2}sinx-\frac{1}{\sqrt2}cosx)=\frac{1-\sqrt5}{2}\\\\\sqrt2\cdot (cos\frac{\pi}{4}sinx-sin\frac{\pi}{4}cosx)=\frac{1-\sqrt5}{2}\\\\\sqrt2\cdot sin(x-\frac{\pi}{4})=\frac{1-\sqrt5}{2}$

$sin(x-\frac{\pi }{4})=\frac{1-\sqrt5}{2\sqrt2} \approx -0,44\\\\x-\frac{\pi}{4}=(-1)^{n}\, arcsin\frac{1-\sqrt5}{2\sqrt2}+\pi n,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi }{4}+(-1)^{n}\, arcsin\frac{1-\sqrt5}{2\sqrt2}+\pi n=\frac{\pi}{4}+(-1)^{n+1}\, arcsin\frac{\sqrt5-1}{2\sqrt2}+\pi n,\; n\in Z\\\\b)\; \; sinx-cosx=\frac{1+\sqrt5}{2\sqrt2}\\\\sin(x-\frac{\pi}{4})=\frac{1+\sqrt5}{2\sqrt2}\approx 1,15>1\; \; \Rightarrow \; \; x\in \varnothing$

$Otvet:\; \; x=\frac{\pi }{4}+(-1)^{n+1}\, arcsin\frac{\sqrt5-1}{2\sqrt2}+\pi n,\; n\in Z\; .$

Answer 2

Для решения уравнения sin(x) + sin(2x) = cos(x) воспользуемся знаниями тригонометрии и попробуем привести его к более простому виду.

1. Начнем с преобразования sin(2x) в более простое выражение: Известно, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x): sin(x) + 2sin(x)cos(x) = cos(x).

2. Перенесем все члены уравнения на одну сторону: sin(x) + 2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0.

3. Теперь попробуем факторизовать уравнение: Обратим внимание, что у нас есть три слагаемых, содержащих sin(x): sin(x) + 2sin(x)cos(x) - cos(x) = sin(x) + cos(x)(2sin(x) - 1) = 0.

4. Найдем значения sin(x) и cos(x), при которых выражение sin(x) + cos(x)(2sin(x) - 1) равно нулю: a) sin(x) = 0: Это возможно при x = 0, π, 2π, и т.д.

   b) 2sin(x) - 1 = 0: 2sin(x) = 1, sin(x) = 1/2. Это возможно при x = π/6 и x = 5π/6.

Таким образом, у нас есть три решения уравнения sin(x) + sin(2x) = cos(x):

1. x = 0
2. x = π/6
3. x = 5π/6

Не забудьте убедиться, что эти значения удовлетворяют исходному уравнению. Подставьте каждое из решений в исходное уравнение и убедитесь, что обе его части равны.