Question

доказать что при любом целом n значение выражения (7n-2)^2-(2n-7) ^2делится на 5;делится на 9 ::::::: с решением

Answer 1

Раскроем скобки, приведём подобные и разложим на множители

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $(7n-2)^2 - (2n-7)^2$ делится на 5 и 9, можно воспользоваться методом математической индукции. Давайте докажем оба утверждения по отдельности.

1. Доказательство деления на 5:

Шаг базы: При $n = 1$: $(7 \cdot 1 - 2)^2 - (2 \cdot 1 - 7)^2 = (5)^2 - (-5)^2 = 25 - 25 = 0$, что делится на 5.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого целого числа $k$ выполняется, что выражение $(7k-2)^2 - (2k-7)^2$ делится на 5. То есть, существует целое число $m$ такое, что $(7k-2)^2 - (2k-7)^2 = 5m$.

Докажем, что тогда это верно и для $k + 1$: $(7(k+1) - 2)^2 - (2(k+1) - 7)^2 = (7k + 5)^2 - (2k - 5)^2$. Раскроем скобки: $(7k + 5)^2 - (2k - 5)^2 = 49k^2 + 70k + 25 - (4k^2 - 20k + 25) = 45k + 50 = 5(9k + 10)$. Таким образом, выражение также делится на 5.

Из принципа математической индукции следует, что выражение $(7n-2)^2 - (2n-7)^2$ делится на 5 для любого целого $n$.

2. Доказательство деления на 9:

Шаг базы: При $n = 1$: $(7 \cdot 1 - 2)^2 - (2 \cdot 1 - 7)^2 = (5)^2 - (-5)^2 = 25 - 25 = 0$, что делится на 9.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого целого числа $k$ выполняется, что выражение $(7k-2)^2 - (2k-7)^2$ делится на 9. То есть, существует целое число $m$ такое, что $(7k-2)^2 - (2k-7)^2 = 9m$.

Докажем, что тогда это верно и для $k + 1$: $(7(k+1) - 2)^2 - (2(k+1) - 7)^2 = (7k + 5)^2 - (2k - 5)^2$. Раскроем скобки: $(7k + 5)^2 - (2k - 5)^2 = 49k^2 + 70k + 25 - (4k^2 - 20k + 25) = 45k + 50 = 9(5k + 5)$. Таким образом, выражение также делится на 9.

Из принципа математической индукции следует, что выражение $(7n-2)^2 - (2n-7)^2$ делится на 9 для любого целого $n$.

Таким образом, мы доказали, что выражение $(7n-2)^2 - (2n-7)^2$ делится и на 5, и на 9 для любого целого $n$.