Question

Докажите, что при любых целых m и n делится на 8 значение выражения: а) (m+2n-1)(m+2n+9)-(m-2n+1)(m-2n-9)

Answer 1

(m+2n-1)(m+2n+9)-(m-2n+1)(m-2n-9)≡(m+2n-1)(m+2n+1)-(m-2n+1)(m-2n-1) (mod 8)=((m+2n)²-1)-((m-2n)²-1)=(m+2n)²-(m-2n)²=m²+4mn+4n²-(m²-4mn+4n²)=8mn≡0(mod 8) ∀m,n∈Z

Это и означает, что ((m+2n-1)(m+2n+9)-(m-2n+1)(m-2n-9)) ⋮ 8

Ч.т.д.

_____________________

Использованы свойства сравнения чисел по модулю

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение делится на 8 при любых целых m и n, нужно показать, что это выражение кратно 8.

Для начала, раскроем скобки в данном выражении:

(a) (m + 2n - 1)(m + 2n + 9) - (m - 2n + 1)(m - 2n - 9)

Распишем каждую часть отдельно:

(m + 2n - 1)(m + 2n + 9) = m^2 + 2mn + 9m + 2mn + 4n^2 + 18n - m - 2n - 9 = m^2 + 4mn + 8m + 4n^2 + 16n - 10

(m - 2n + 1)(m - 2n - 9) = m^2 - 2mn - 9m - 2mn + 4n^2 + 18n + m + 2n - 9 = m^2 - 4mn - 8m + 4n^2 + 16n - 10

Теперь вычитаем одно выражение из другого:

(m^2 + 4mn + 8m + 4n^2 + 16n - 10) - (m^2 - 4mn - 8m + 4n^2 + 16n - 10) = m^2 + 4mn + 8m + 4n^2 + 16n - 10 - m^2 + 4mn + 8m - 4n^2 - 16n + 10 = 8mn + 8n

Теперь докажем, что 8mn + 8n делится на 8:

8n(m + 1)

Таким образом, мы видим, что исходное выражение (a) представляется в виде 8n(m + 1), что означает, что оно делится на 8 при любых целых m и n. Таким образом, утверждение доказано.