Question

Найти все первообразные для заданных функций: 1) 4/x⁵ - (1-2x)³ 2) 2x - 3/sin²x + 6

Answer 1

Ответ во вложении....

Answer 2

Для нахождения первообразных функций данных выражений, мы используем методы интегрирования. Первообразная функция - это функция, производная которой равна данной функции.

1. Найдем первообразную для выражения: 4/x⁵ - (1-2x)³

Сначала проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫(4/x⁵) dx = ∫4x^(-5) dx = -4/4x⁴ + C₁ = -1/x⁴ + C₁

∫(1-2x)³ dx = ∫(1 - 6x + 12x² - 8x³) dx = x - 3x² + 4x³ - 2x⁴ + C₂

где C₁ и C₂ - произвольные константы интегрирования.

Теперь объединим полученные результаты:

∫(4/x⁵ - (1-2x)³) dx = ∫(4/x⁵) dx - ∫(1-2x)³ dx = -1/x⁴ + C₁ - (x - 3x² + 4x³ - 2x⁴) + C₂ = -2x⁴ + 4x³ - 3x² - x + C₁ + C₂

Таким образом, первообразной для данного выражения является:

F(x) = -2x⁴ + 4x³ - 3x² - x + C, где C = C₁ + C₂, C - произвольная константа.

2. Найдем первообразную для выражения: 2x - 3/sin²x + 6

∫(2x) dx = x² + C₁

Для ∫(3/sin²x) dx используем замену переменной. Положим u = sin(x), тогда du/dx = cos(x) и dx = du/cos(x). Заменим в интеграле:

∫(3/sin²x) dx = ∫(3/u²) du = 3∫u^(-2) du = 3*(-u^(-1)) + C₂ = -3/u + C₂ = -3/sin(x) + C₂

Теперь объединим результаты:

∫(2x - 3/sin²x + 6) dx = ∫(2x) dx - ∫(3/sin²x) dx + ∫6 dx = x² + C₁ + (-3/sin(x) + C₂) + 6x + C₃ = x² + 6x - 3/sin(x) + C, где C = C₁ + C₂ + C₃, C - произвольная константа.

Таким образом, первообразной для данного выражения является:

F(x) = x² + 6x - 3/sin(x) + C, где C - произвольная константа.