Question

Записать комплексное число z = ‒1‒2i. в тригонометрической и показательной формах

Answer 1

$z = -1 - 2i$

$|z| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

$z = \sqrt{5}(\cos (\mathrm{arctg}\,2 - \frac{\pi}{2}) + i\sin(\mathrm{arctg}\,2 - \frac{\pi}{2}))$

$z = \sqrt{5}e^{i(\mathrm{arctg}\,2 - \frac{\pi}{2})}$

Answer 2

Для записи комплексного числа z = -1 - 2i в тригонометрической форме (также известной как геометрическая форма) и показательной форме, нужно найти его модуль и аргумент (угол) в плоскости комплексных чисел.

1. Тригонометрическая форма: В тригонометрической форме комплексное число записывается в виде z = r(cosθ + i sinθ), где r - модуль числа, а θ - его аргумент.

Модуль (r): Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его действительной (a) и мнимой (b) частей: r = |z| = √(a^2 + b^2)

Аргумент (θ): Аргумент комплексного числа z можно найти, используя тангенс аргумента: θ = arctan(b / a)

В данном случае: a = -1 (действительная часть) b = -2 (мнимая часть)

Модуль (r): r = |z| = √((-1)^2 + (-2)^2) = √(1 + 4) = √5

Аргумент (θ): θ = arctan(-2 / -1) = arctan(2) ≈ 63.43°

Теперь, комплексное число z = -1 - 2i в тригонометрической форме: z = √5 * (cos(63.43°) + i sin(63.43°))

2. Показательная форма: В показательной форме комплексное число записывается как z = re^(iθ), где r - модуль числа, e - основание натурального логарифма (euler's number), а θ - его аргумент.

Для данного числа: r = √5 (уже вычислено в тригонометрической форме) θ = 63.43° (уже вычислено в тригонометрической форме)

Теперь, комплексное число z = -1 - 2i в показательной форме: z = √5 * e^(i * 63.43°)

Обратите внимание, что единица в комплексной показательной форме находится в степени, а не в множителе, как в обычных числах.