Question

Помогите пожалуйста найти первообразную функции f(x)=1/x^6

Answer 1

Для начала:

f(x)=y; т.к y-значение функции

Теперь выполняем умножение:

y=1/x*6

y=6/x

Ответ: 6/x

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{x^6}$ нужно найти такую функцию $F(x)$, производная которой равна данной функции $f(x)$.

Для этого воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du,$

где $u$ и $v$ — две функции от $x$, а $du$ и $dv$ — их дифференциалы по $x$.

Выберем такие функции $u$ и $dv$:

$u = \frac{1}{x^5}$ (тогда $du = -5x^{-6} \, dx$)

$dv = \frac{1}{x}$ (тогда $v = \ln|x|$)

Теперь можем вычислить интеграл:

$\int \frac{1}{x^6} \, dx = \int u \, dv = uv - \int v \, du = \frac{\ln|x|}{x^5} + \int 5x^{-6}\ln|x| \, dx.$

Теперь осталось проинтегрировать последний интеграл. Мы можем воспользоваться заменой переменной, введя новую переменную $t = \ln|x|$, откуда $dt = \frac{1}{x} \, dx$. Тогда интеграл примет вид:

$5 \int t \, dt = \frac{5t^2}{2} + C = \frac{5(\ln|x|)^2}{2} + C,$

где $C$ — произвольная постоянная.

Таким образом, первообразной функции $f(x) = \frac{1}{x^6}$ является $\frac{\ln|x|}{x^5} + \frac{5(\ln|x|)^2}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.