Question

Помогите пожалуйста найти первообразную функции f(x)=1/x^6

Answer 1

Для начала:

f(x)=y; т.к y-значение функции

Теперь выполняем умножение:

y=1/x*6

y=6/x

Ответ: 6/x

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $F(x)$ от $f(x) = \frac{1}{x^6}$, мы должны найти такую функцию, производная которой равна $f(x)$. Используем метод интегрирования.

$$F(x) = \int f(x) \, dx$$

$$F(x) = \int \frac{1}{x^6} \, dx$$

Разложим $x^{-6}$ в виде степенного ряда, чтобы произвести интегрирование:

$$x^{-6} = x^{-(2\cdot3)} = (x^{-2})^3$$

Теперь можем произвести интегрирование:

$$\begin{aligned} \int x^{-6} \, dx &= \int (x^{-2})^3 \, dx \\ &= \int x^{-2} \cdot x^{-2} \cdot x^{-2} \, dx \\ &= \int x^{-2} \, dx \cdot \int x^{-2} \, dx \cdot \int x^{-2} \, dx \\ &= \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) \cdot \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) \cdot \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C \\ &= -\frac{1}{x} \cdot \left( -\frac{1}{x} \right) \cdot \left( -\frac{1}{x} \right) + C \\ &= -\frac{1}{x^3} + C \end{aligned}$$

Где $C$ - это константа интегрирования. Таким образом, первообразная функции $f(x) = \frac{1}{x^6}$ равна:

$F(x) = -\frac{1}{x^3} + C$