Question

Решить неравенство а)5^2х-2*5^х-15=0 б)5^2х+1-3*5^2х-1-550 в)(5)^х^2>(1/5)^2х-3

Answer 1

1)5^2х-2*5^2 больше
2)5^2х+1-3 больше

Answer 2

Для решения данных неравенств, давайте разберем каждое из них по отдельности.

а) $5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 \leq 0$

Для начала заметим, что данное неравенство можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной $5^x$:

$5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 = 0$

Заменяем $5^x$ на $t$:

$t^2 - 2t - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 15 = (t - 5)(t + 3) = 0$

Таким образом, у нас два корня: $t = 5$ и $t = -3$.

Теперь перейдем к исходному неравенству:

$5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 \leq 0$

Замечаем, что $5^x$ является положительным числом, так как любое положительное число, возведенное в степень, также будет положительным. Следовательно, $t = 5^x > 0$.

Таким образом, решением данного неравенства будет интервал, в котором $5^x$ находится между $t = -3$ и $t = 5$:

$-3 < 5^x \leq 5$

б) $5^{2x + 1} - 3 \cdot 5^{2x - 1} - 550 > 0$

Также, как и в предыдущем случае, рассмотрим $5^{2x - 1}$ как $t$:

$5^{2x + 1} - 3 \cdot 5^{2x - 1} - 550 = 0$

Заменяем $5^{2x - 1}$ на $t$:

$25t - 3t - 550 = 0$

$22t - 550 = 0$

$22t = 550$

$t = \frac{550}{22} = 25$

Теперь перейдем к исходному неравенству:

$5^{2x + 1} - 3 \cdot 5^{2x - 1} - 550 > 0$

$25t - 3t - 550 > 0$

$22t - 550 > 0$

Так как $t = 5^{2x - 1}$ является положительным числом (любое положительное число, возведенное в степень, также будет положительным), то $t > 0$.

Таким образом, решением данного неравенства будет:

$5^{2x - 1} > 0$

$t > 0$

$5^{2x - 1}$ (или $t$) является положительным числом.

в) $5^{x^2} > \frac{1}{5^{2x - 3}}$

Для упрощения дроби в правой части неравенства, заметим, что $\frac{1}{5^{2x - 3}} = 5^{-2x + 3}$.

Теперь перепишем неравенство:

$5^{x^2} > 5^{-2x + 3}$

Так как основание (5) положительное и не равно 1, мы можем применить логарифмы к обеим сторонам неравенства без изменения его направления:

$x^2 > -2x + 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x - 3 > 0$

Теперь решим это квадратное неравенство:

$(x + 3)(x - 1) > 0$

Таким образом, у нас две критические точки: $x = -3$ и $x = 1$.

Теперь построим таблицу знаков и определим интервалы, в которых $x^2 + 2x - 3$ больше нуля:

$$\begin{array}{cccc}& x+3& x-1& \end{array}$$ 0 0