Question

Интегралл x²ln(2x)dx

Answer 1

Пожалуйста, пишите конкретно что нужно сделать с примером, а то написал, и че мне с ним делать, то вычислить интеграл, то разложить логарифм, то исследовать функции, вот что?
Лично я сделал: Вычислил интеграл

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям, который имеет вид:

∫u dv = uv - ∫v du

где u и v - это функции переменной x, а du и dv - их дифференциалы. Перепишем наш интеграл, чтобы использовать этот метод:

∫x² ln(2x) dx

Выберем две функции: u = ln(2x) и dv = x² dx. Тогда получаем:

du = (1/x) dx (производная ln(2x)) v = (1/3) x³ (проинтегрируем x²)

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

∫x² ln(2x) dx = (1/3) x³ ln(2x) - ∫(1/x) * (1/3) x³ dx

Теперь проинтегрируем оставшийся интеграл:

∫(1/x) * (1/3) x³ dx = (1/3) ∫x² dx = (1/3) * (x³/3) + C

где C - произвольная константа интегрирования.

Теперь подставим обратно в исходный интеграл:

∫x² ln(2x) dx = (1/3) x³ ln(2x) - (1/3) * (x³/3) + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫x² ln(2x) dx = (1/3) x³ ln(2x) - (1/9) x³ + C, где C - произвольная константа интегрирования.