Question

СРОЧНООО, пожалуйстанайти площадь фигуры, ограниченной линиями:y=-x^2+4, y=x^2-2x

Answer 1

$y=-x^2+4\; ,\; \; y=x^2-2x\\\\Tochki\; peresecheniya:\\\\-x^2+4=x^2-2x\; \; \to \; \; 2x^2-2x-4=0\; ,\; \; x^2-x-2=0\; ,\\\\x_1=-1\; ,\; x_2=2\; \; (teorema\; Vieta)\\\\S=\int\limits^2_{-1}\, \Big ((-x^2+4)-(x^2-2x)\Big )dx=\int\limits^2_{-1}\, (-2x^2+2x+4)\, dx=\\\\=(-2\cdot \frac{x^3}{3}+x^2+4x)\Big |_{-1}^2=-\frac{2}{3}\cdot 8+4+8-(\frac{2}{3}+1-4)=9$

Answer 2

Хорошо, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, вам нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить определенный интеграл площади между ними.

Для начала найдем точки пересечения двух кривых. Приравняем уравнения друг другу:

y = -x^2 + 4 y = x^2 - 2x

-x^2 + 4 = x^2 - 2x

Теперь приведем уравнение к квадратичной форме:

2x^2 - 2x - 4 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью квадратного корня:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 2, b = -2, c = -4

x = (2 ± √((-2)^2 - 4 * 2 * -4)) / 2 * 2 x = (2 ± √(4 + 32)) / 4 x = (2 ± √36) / 4 x = (2 ± 6) / 4

Таким образом, получаем два значения x: x1 = 8/4 = 2 и x2 = -4/4 = -1.

Теперь подставим эти значения x обратно в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x = 2: y = 2^2 - 2 * 2 = 4 - 4 = 0

Для x = -1: y = (-1)^2 - 2 * (-1) = 1 + 2 = 3

Теперь у нас есть две точки пересечения: (2, 0) и (-1, 3).

Для нахождения площади между кривыми, мы должны вычислить определенный интеграл от одной функции до другой. Поскольку кривые пересекаются в точках (2, 0) и (-1, 3), площадь фигуры будет равна разности интегралов этих функций в этих точках:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (x^2 - 2x) dx - ∫[от -1 до 2] (-x^2 + 4) dx

Теперь произведем вычисления:

Площадь = [(x^3 / 3) - (x^2) ] от -1 до 2 - [(-x^3 / 3) + 4x ] от -1 до 2 Площадь = [(2^3 / 3) - (2^2)] - [((-1)^3 / 3) - 4(-1)] Площадь = [(8 / 3) - 4] - [(-1 / 3) + 4] Площадь = (8 / 3 - 4) + (4 + 1 / 3) Площадь = 8 / 3 - 8 / 3 Площадь = 0.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = x^2 - 2x, равна 0.