Question

Розв'яжіть систему нерівностей x^3+x^2-6>=0 x^2-x-6<0

Answer 1

Вроде вот так.Должно быть правильно.

Answer 2

Для розв'язання даної системи нерівностей, спочатку знайдемо усі значення x, для яких виконується кожна окрема нерівність, а потім визначимо спільний проміжок, який задовольняє обом нерівностям одночасно.

1. Розв'язок першої нерівності x^3 + x^2 - 6 ≥ 0:

Спочатку знайдемо критичні точки, де вираз x^3 + x^2 - 6 дорівнює нулю:

x^3 + x^2 - 6 = 0

Ця нерівність факторизується як (x - 1)(x + 2)(x + 3) = 0. Тому критичні точки -1, 1 та -3.

Тепер побудуємо інтервали на числовій прямій та знаходимо знак виразу x^3 + x^2 - 6 на кожному інтервалі:

Інтервал (-∞, -3): x^3 + x^2 - 6 < 0 (- + - -) < 0

Інтервал (-3, -2): x^3 + x^2 - 6 > 0 (- + - -) > 0

Інтервал (-2, 1): x^3 + x^2 - 6 < 0 (- + + -) < 0

Інтервал (1, ∞): x^3 + x^2 - 6 > 0 (+ + + +) > 0

Таким чином, розв'язок першої нерівності це об'єднання двох інтервалів: (-∞, -3) об'єднано з (1, ∞), позначимо його як D₁:

D₁: x ∈ (-∞, -3) ∪ (1, ∞)

2. Розв'язок другої нерівності x^2 - x - 6 < 0:

Знайдемо критичні точки, де вираз x^2 - x - 6 дорівнює нулю:

x^2 - x - 6 = 0

Ця нерівність факторизується як (x - 3)(x + 2) = 0. Тому критичні точки -2 та 3.

Тепер побудуємо інтервали на числовій прямій та знаходимо знак виразу x^2 - x - 6 на кожному інтервалі:

Інтервал (-∞, -2): x^2 - x - 6 > 0 (- + - -) > 0

Інтервал (-2, 3): x^2 - x - 6 < 0 (- + + -) < 0

Інтервал (3, ∞): x^2 - x - 6 > 0 (+ + + +) > 0

Таким чином, розв'язок другої нерівності це інтервал (-2, 3), позначимо його як D₂:

D₂: x ∈ (-2, 3)

3. Знаходимо перетин D₁ та D₂:

D₁ ∩ D₂: x ∈ (-2, 3)

Отже, розв'язком системи нерівностей буде інтервал (-2, 3).