Question

Через точку (1;4) провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей.

Answer 1

Проведём через точку (1; 4) прямую, пересекающую оси Ох и Оу в положительных значениях. Координата точки пересечения с осью Ох равна х, а с осью Оу равна у.

Длину по у можно выразить через х по пропорции:

4/(х - 1) = у/х, отсюда у = 4х/(х - 1).

Сумма длин х + у = х + (4х/(х - 1)) = (х² - х + 4х)/(х - 1) = (х² + 3х)/(х - 1).

Производная этой функции равна y' = (x² - 2x - 3)/(x - 1)².

Для нахождения минимума приравняем её нулю (достаточно числитель): x² - 2x - 3 = 0. Д = 4 + 4*3 = 16. х = (2+-4)/2 = 3 и -1 (отрицательное значение не принимаем).

Определим знаки производной (по числителю - знаменатель положителен) левее и правее найденной критической точки.

х =     2      3      4

y' =   -3      0      5    Переход от + к -  это минимум.

Находим уравнение прямой через 2 точки: (1; 4) и (3; 0)

(х - 1)/2 = (у - 4)/-4.  Сократим знаменатели на 2.

(х - 1)/1 = (у - 4)/-2. это каноническое уравнение прямой.

-2х + 2 = у - 4.

у + 2х - 6 = 0  это общее уравнение прямой,

у = -2х + 6   оно же с угловым коэффициентом.

Answer 2

Чтобы найти прямую, которая образует наименьшую сумму длин положительных отрезков, отсекаемых на координатных осях, нужно провести прямую через точку (1,4) так, чтобы она была перпендикулярна сегменту, соединяющему точку (1,4) и начало координат (0,0).

Прямая, перпендикулярная сегменту, имеет угловой коэффициент, равный отрицательному обратному углового коэффициента этого сегмента. Угловой коэффициент сегмента можно найти по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

где (x1, y1) - координаты начала сегмента (0,0), а (x2, y2) - координаты точки (1,4).

Подставим значения и вычислим угловой коэффициент:

$k = \frac{4 - 0}{1 - 0} = 4$

Теперь найдем угловой коэффициент прямой, перпендикулярной этому сегменту. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен $-\frac{1}{k}$:

$k_{\perp} = -\frac{1}{4}$

Теперь у нас есть угловой коэффициент и точка (1,4), через которую должна проходить прямая. Используем уравнение прямой в общем виде:

$y - y_0 = k_{\perp} \cdot (x - x_0)$

где $(x_0, y_0)$ - точка на прямой (1,4) и $k_{\perp} = -\frac{1}{4}$.

Подставим значения:

$y - 4 = -\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Раскроем скобку:

$y - 4 = -\frac{1}{4} \cdot x + \frac{1}{4}$

Теперь приведем уравнение к стандартному виду $y = mx + b$:

$y = -\frac{1}{4} \cdot x + \frac{17}{4}$

Таким образом, уравнение прямой, которая образует наименьшую сумму длин отрезков, отсекаемых на координатных осях, и проходит через точку (1,4), имеет вид:

$y = -\frac{1}{4} \cdot x + \frac{17}{4}$