Question

Найдите остаток от деления на 201^102+102^201 на 6.

Answer 1

201¹⁰²+102²⁰¹≡3¹⁰²+0²⁰¹(mod 6)=3¹⁰²=9⁵¹≡3⁵¹(mod 6)=3*9²⁵≡3*3²⁵(mod 6)=9¹³≡3¹³(mod 6)=27⁴*3≡3⁴*3(mod 6)=9²*3≡3²*3(mod 6)=27≡3(mod 6)

Значит 201¹⁰²+102²⁰¹≡3(mod 6), то есть дает остаток 3 при делении на 6.

_____________

В решении использованы свойства сравнения чисел по модулю

Answer 2

Игорь конечно молодец , но можно проще :

201^102 -  нечетно , 102^201 - четно ⇒ сумма этих чисел -

нечетное число ⇒ на 2 оно не делится ⇒ оно не делится на 6

 , но каждое из них кратно 3  ⇒ сумма также кратна 3 , пусть

 201^102+102^201  = b и b = 6q+r ⇒ r = b -6q ⇒ r кратно 3 , но  из

возможных  остатков только 3 кратно 3 ( r ≠ 0) ⇒  r = 3

Ответ :  остаток равен  3

Answer 3

Для нахождения остатка от деления числа на 6, можно рассмотреть остатки от деления каждой из частей числа на 6 и затем объединить их по модулю 6.

Начнем с разложения чисел 201 и 102 на множители:

201 = 3 * 67 102 = 2 * 3 * 17

Теперь посмотрим на степени этих чисел:

201^102 = (3 * 67)^102 = 3^102 * 67^102 102^201 = (2 * 3 * 17)^201 = 2^201 * 3^201 * 17^201

Теперь найдем остатки от деления каждой из частей на 6:

Для остатка от деления на 6 рассматриваем только последние цифры степеней:

3^102 mod 6 = 9 mod 6 = 3 67^102 mod 6 = (67^2)^51 mod 6 = 4489^51 mod 6 = 1^51 mod 6 = 1

2^201 mod 6 = 2 mod 6 = 2 3^201 mod 6 = 9 mod 6 = 3 17^201 mod 6 = (17^2)^100 * 17 mod 6 = 289^100 * 17 mod 6 = 1^100 * 17 mod 6 = 17

Теперь объединим остатки по модулю 6:

(3 + 1) mod 6 = 4 (2 + 3 + 17) mod 6 = 22 mod 6 = 4

Теперь найдем остаток от деления суммы 4^102 + 4^201 на 6:

4^102 mod 6 = (4^2)^51 mod 6 = 16^51 mod 6 = 1^51 mod 6 = 1 4^201 mod 6 = (4^2)^100 * 4 mod 6 = 16^100 * 4 mod 6 = 1^100 * 4 mod 6 = 4

Теперь сложим их и найдем остаток от деления на 6:

(1 + 4) mod 6 = 5

Итак, остаток от деления числа 201^102 + 102^201 на 6 равен 5.