Question

Help me!!!! Решите пожалуйста неравенство log 1/3 (x^2-2x-8)+3>0

Answer 1

ОДЗ :

x² - 2x - 8 > 0

(x - 4)(x + 2) > 0

           +                        -                            +

_____________₀__________₀___________

                          - 2                     4

//////////////////////////                       ///////////////////////////

x ∈ ( - ∞ , - 2) ∪ (4 ; + ∞)

$log_{\frac{1}{3} }(x^{2}-2x-8)+3>0\\\\log_{\frac{1}{3} }(x^{2}-2x-8)>-3\\\\x^{2}-2x-8$

           +                              -                            +

______________₀_____________₀_____________

                             - 5                          7

                                ////////////////////////////

x ∈ (- 5 , 7)

С учётом ОДЗ окончательный ответ :

x ∈ (- 5 ; - 2) ∪ (4 , 7)

Answer 2

ОДЗ:

$x^2-2x-8>0\\ \\ \sqrt{D}=\sqrt{4+8*4}=\sqrt{36}=6\\ \\ x_1=\frac{2-6}{2}=-2\\ \\ x_2=\frac{2+6}{2}=4\\ \\ \left \{ {{x4}} \right.$

____________________________________

$log_\frac{1}{3} (x^2-2x-8)+3>0\\ \\ -log_3(x^2-2x-8)+log_327>0\\ \\ log_3(x^2-2x-8)$

____________________________________

Объединяем ОДЗ и решение неравенства, получаем

x ∈ (-5; -2) ∪ (4; 7)

____________________________________

Ответ: (-5; -2) ∪ (4; 7)

Answer 3

Давайте решим неравенство по порядку. Первым шагом будет найти область допустимых значений (ОДЗ) для выражения внутри логарифма, чтобы избежать отрицательного аргумента логарифма:

1/3 (x^2 - 2x - 8) > 0

Для начала, найдем значения x, при которых выражение внутри логарифма равно нулю:

x^2 - 2x - 8 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного корня:

(x - 4)(x + 2) = 0

Таким образом, x = 4 или x = -2.

Теперь построим таблицу знаков, чтобы определить ОДЗ и решить неравенство:

luaCopy code
   x < -2       -2 < x < 4       x > 4
   --------------------------------------

x^2 - 2x - 8 | - | + | + 1/3 (x^2 - 2x - 8) | - | + | + -------------------------------------- log (1/3 (x^2 - 2x - 8)) | ? | + | ? + 3 | ? | ? | ?

Теперь добавим 3 к каждой части неравенства:

1/3 (x^2 - 2x - 8) + 3 > 0

Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется для значений x в двух интервалах: (-2, 4) и (4, +∞).

Таким образом, решением неравенства является:

-2 < x < 4 или x > 4.