Question

Последовательность (xₙ), такая что все xₙ <1. Верно ли, что если (xₙ) сходится к числу a, то также a <1? С обоснованием.

Answer 1

Неверно. Например все члены последоватпльности

$x_n=1-\frac{1}{n}$

но её предел

a=1.

Answer 2

Да, верно, что если последовательность (xₙ) состоит из элементов, которые все меньше 1, и сходится к числу a, то это число a также будет меньше 1. Давайте обоснуем это.

Пусть (xₙ) - последовательность, такая что все её элементы удовлетворяют неравенству xₙ < 1. Предположим, что эта последовательность сходится к числу a. Формально это можно записать так:

lim(n → ∞) xₙ = a

Теперь предположим, что a ≥ 1. Это означает, что a - число, которое больше или равно 1. Поскольку последовательность сходится к a, то существует такой индекс N, начиная с которого все элементы последовательности (xₙ) лежат в некоторой окрестности числа a. Формально:

∃ N : ∀ n ≥ N => |xₙ - a| < ε, где ε > 0.

Так как a ≥ 1 и xₙ < 1 для всех n, то |xₙ - a| = a - xₙ. Следовательно, мы можем переписать неравенство как:

∃ N : ∀ n ≥ N => a - xₙ < ε.

Однако противоречие возникает, если мы возьмем ε = a - 1. Поскольку a ≥ 1, то ε > 0. Теперь давайте подставим ε в неравенство:

a - xₙ < a - 1.

Так как a - xₙ < a - 1 и xₙ < 1 для всех n, то получается:

1 < a - 1,

что приводит к противоречию, потому что это неравенство не может быть истинным для чисел a ≥ 1.

Таким образом, мы пришли к выводу, что предположение a ≥ 1 неверно. Следовательно, a должно быть меньше 1, когда последовательность (xₙ) сходится к числу a.