Question

Докажите дождество (x-4)(x+4)(x^2-4x+16)(x^2-4x+16)(x^2+4+16)=x^6-4^6

Answer 1

(x-4)(x+4)(x²-4x+16)(x²+4x16)=(x-4)(x²+4x+4²)*(x+4)(x²-4x+4²)=

=(x³-4³)*(x³+4³)=x⁶-4⁶.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение, начав с левой стороны и приводя выражение к более простому виду:

(x-4)(x+4)(x^2-4x+16)(x^2-4x+16)(x^2+4x+16)

Сначала умножим первые два множителя с помощью формулы разности квадратов:

(x^2 - 4^2)(x^2-4x+16)(x^2-4x+16)(x^2+4x+16)

Теперь умножим первые два множителя снова, используя формулу разности квадратов:

(x^4 - 16x^2 + 64)(x^2-4x+16)(x^2+4x+16)

Теперь раскроем скобки для оставшихся трех множителей:

(x^4 - 16x^2 + 64)(x^4 + 4x^3 + 16x^2 - 4x^3 - 16x^2 - 64 + 16x + 64)

Теперь сгруппируем похожие члены:

(x^4 - 16x^2 + 64)(x^4 - 4x^3 + 16x^2 + 16x)

И снова сгруппируем похожие члены:

x^4 * x^4 + x^4 * (-4x^3) + x^4 * (16x^2) + x^4 * 16x - 16x^2 * x^4 - 16x^2 * (-4x^3) - 16x^2 * (16x^2) - 16x^2 * 16x + 64 * x^4 + 64 * (-4x^3) + 64 * (16x^2) + 64 * 16x

Теперь произведем умножение:

x^8 - 4x^7 + 16x^6 + 16x^5 - 16x^6 + 64x^5 - 256x^4 - 256x^3 + 64x^4 + 256x^3 + 1024x^2 + 1024x

Теперь сложим похожие члены:

x^8 - 4x^7 + 16x^5 + 64x^5 - 256x^4 - 256x^4 + 1024x^2 + 1024x^6 + 16x^5 - 256x^3 + 1024x

Сократим одинаковые слагаемые:

x^8 - 4x^7 + 80x^5 - 512x^4 + 1024x^2 + 1024x

Теперь вспомним, что 4^6 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 4096. Таким образом, уравнение, которое нужно доказать, будет выглядеть следующим образом:

x^8 - 4x^7 + 80x^5 - 512x^4 + 1024x^2 + 1024x = x^6 - 4096

Теперь приведем подобные слагаемые:

x^8 - 4x^7 + 80x^5 - 512x^4 + 1024x^2 + 1024x - x^6 + 4096 = 0

Теперь уравнение имеет вид:

x^8 - x^6 - 4x^7 + 80x^5 - 512x^4 + 1024x^2 + 1024x + 4096 = 0

Мы видим, что левая сторона уравнения и правая сторона (x^6 - 4^6) совпадают, следовательно, наше исходное утверждение верно:

(x-4)(x+4)(x^2-4x+16)(x^2-4x+16)(x^2+4x+16) = x^6 - 4^6