Question

Дано: cos2a=1/3 a(0;pi/2). найти:tg(a+pi/4)

Answer 1

Угол альфа принадлежит первой четверти, а значит все тригонометрические функции положительные!

Упростим тангенс через формулу "тангенс суммы"

tg(a+ π/4) = (1+tga)/(1-tga)

Значит нам необходимо вычислить значение тангенса альфа. Беремся за косинус

cos2a = 1/3 ⇔ 2cos²a - 1 = 1/3

cosa = √2/√3

sin²a = 1 - cos²a ⇒ sin a = √3/3

tg a = sin a / cos a = √3/3 * √3/2 = 1/2

tg(a + π/4) = (1+tga) / (1-tga) = (1 + 1/2) / ( 1 - 1/2) = 1,5 / 0,5 = 15/5 = 3

Ответ: 3

Answer 2

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать тригонометрические тождества. Дано, что:

cos(2a) = 1/3

Мы хотим найти значение tg(a + π/4). Для этого воспользуемся следующими тождествами:

1. tg(a + π/4) = (tg(a) + tg(π/4)) / (1 - tg(a) * tg(π/4))
2. tg(π/4) = 1

Первым делом найдем значение tg(a) из данного нам косинуса.

Известно, что:

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 1/3

Используя тригонометрическое тождество cos^2(a) = 1 - sin^2(a), заменим cos^2(a) в уравнении:

1 - sin^2(a) - sin^2(a) = 1/3

2 * sin^2(a) = 2/3

sin^2(a) = 1/3

Теперь найдем значение sin(a):

sin(a) = √(sin^2(a)) = √(1/3) = √3/3

Так как a лежит в интервале от 0 до π/2, а sin(a) положителен в этом интервале, значит, sin(a) = √3/3.

Теперь найдем значение tg(a):

tg(a) = sin(a) / cos(a) = (√3/3) / cos(a)

Так как cos^2(a) + sin^2(a) = 1, заменим cos^2(a) на 1 - sin^2(a):

cos^2(a) = 1 - (√3/3)^2 = 1 - 3/9 = 1 - 1/3 = 2/3

cos(a) = √(cos^2(a)) = √(2/3) = √2 / √3

Теперь можем вычислить tg(a):

tg(a) = (√3/3) / (√2 / √3) = (√3/3) * (√3 / √2) = (√3 * √3) / (3 * √2) = 3 / (3 * √2) = 1 / √2 = √2 / 2

Итак, tg(a) = √2 / 2.

Теперь можем вычислить tg(a + π/4):

tg(a + π/4) = (tg(a) + tg(π/4)) / (1 - tg(a) * tg(π/4)) = (√2 / 2 + 1) / (1 - (√2 / 2) * 1) = (√2 / 2 + 1) / (1 - √2 / 2)

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение:

tg(a + π/4) = [(√2 / 2 + 1) * (2 - √2)] / [(1 - √2 / 2) * (2 - √2)]

tg(a + π/4) = [√2 + 2 - 2√2 + 2√2 - 2] / (2 - √2)

tg(a + π/4) = (2 - √2) / (2 - √2)

Теперь у нас в знаменателе стоит равное числу √2, и оно сокращается:

tg(a + π/4) = 1

Итак, tg(a + π/4) = 1.