Question

Решите уравнение 1) (х+1)^3-4х=5+х^2(х+3) 2) (1-у)^3+8у=7+у^2(3-у) 3) (х+1)^3+(х-1)^3-2х^3=12 4) (1+у)^3+(1-у)^3-6у^2=3у-1

Answer 1

1) сначала расскрываем по формуле т.е x^3+3x^2+3x+1-4x=5+x^3+3x^2

x^3+3x^2+3x-4x-x^3-3x^2=5-1

Потом сокращаем

3x-4x=1-5

-x=-4

x=4

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по очереди:

1. $(x+1)^3 - 4x = 5 + x^2(x+3)$

Раскроем куб, чтобы упростить уравнение:

$(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 4x = 5 + x^2(x+3)$

$x^3 + 3x^2 - x + 1 - 4x = 5 + x^3 + 3x^2$

Теперь сгруппируем все слагаемые, содержащие степень $x$:

$x^3 + 3x^2 - x^3 + 3x^2 - x + 4x = 5$

$6x^2 + 3x = 5$

Теперь приведем всё в стандартную квадратную формулу $ax^2 + bx + c = 0$:

$6x^2 + 3x - 5 = 0$

Это уравнение не может быть решено аналитически с использованием радикалов, поэтому давайте воспользуемся формулой для вычисления корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

где $a = 6$, $b = 3$, $c = -5$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5)}}{2 \cdot 6}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 120}}{12}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{129}}{12}$

Таким образом, уравнение имеет два решения:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{129}}{12}$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{129}}{12}$

2. $(1 - y)^3 + 8y = 7 + y^2(3 - y)$

Раскроем куб:

$(1 - 3y + 3y^2 - y^3) + 8y = 7 + y^2(3 - y)$

$1 - 3y + 3y^2 - y^3 + 8y = 7 + 3y^2 - y^3$

Теперь сгруппируем все слагаемые, содержащие степень $y$:

$1 + 8y - 3y - y^3 + 3y^2 - 3y^2 + y^3 = 7$

$1 + 8y = 7$

$8y = 6$

$y = \frac{6}{8}$

$y = \frac{3}{4}$

3. $(x + 1)^3 + (x - 1)^3 - 2x^3 = 12$

Раскроем кубы:

$(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 2x^3 = 12$

$2x^3 + 2x = 12$

$2x(x^2 + 1) = 12$

$2x^2 + 2x - 12 = 0$

Разделим все на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 6 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

где $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$.

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm 5}{2}$

Таким образом, уравнение имеет два решения:

$x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

4. $(1 + y)^3 + (1 - y)^3 - 6y^2 = 3y - 1$

Раскроем кубы:

$(1 + 3y + 3y^2 + y^3) + (1 - 3y + 3y^2 - y^3) - 6y^2 = 3y - 1$

$2 + 6y^2 - 6y^2 = 3y - 1$

$2 = 3y - 1$

$3y = 3$

$y = 1$

Таким образом, уравнение имеет единственное решение:

$y = 1$

Обратите внимание, что в каждом уравнении была выполнена алгебраическая обработка для перевода его в стандартную форму, а затем использованы соответствующие методы решения уравнений.