Question

Помогите пожалуйста!! tg2x * tgx= -3

Answer 1

Решение в прикреплённом файле.

Вспомним свойство:

$tg\,2\alpha =\frac{2tg\,\alpha}{1-tg^{2}\,\alpha }$

Answer 2

Для решения уравнения tg(2x) * tg(x) = -3, нам нужно использовать тригонометрические идентичности для тангенса.

Давайте разберемся:

1. Тригонометрическая идентичность: tg(2x) = (2 * tg(x)) / (1 - tg^2(x))

2. Подставим tg(2x) в уравнение: (2 * tg(x)) / (1 - tg^2(x)) * tg(x) = -3

3. Приведем уравнение к квадратному виду: 2 * tg^2(x) = -3 * (1 - tg^2(x))

4. Раскроем скобки: 2 * tg^2(x) = -3 + 3 * tg^2(x)

5. Перенесем все слагаемые с tg^2(x) в одну часть уравнения: 2 * tg^2(x) - 3 * tg^2(x) = -3

6. Сократим слагаемые с tg^2(x): -tg^2(x) = -3

7. Теперь умножим обе части на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака: tg^2(x) = 3

8. Наконец, избавимся от квадрата, взяв квадратный корень с обеих сторон: tg(x) = ±√3

Теперь у нас есть два возможных значения для tg(x): tg(x) = √3 и tg(x) = -√3. Однако, чтобы получить окончательные ответы для x, нам нужно знать диапазон значений угла x.

Обычно углы в тригонометрии могут принимать значения в диапазоне от -π/2 до π/2 (от -90° до 90°). Таким образом, тангенс положителен в первой и третьей четверти, а отрицателен во второй и четвертой четверти.

1. Для tg(x) = √3: Если tg(x) положителен, то он может находиться в первой четверти (0 < x < π/2) и третьей четверти (π < x < 3π/2).

2. Для tg(x) = -√3: Если tg(x) отрицателен, то он может находиться во второй четверти (-π/2 < x < 0) и четвертой четверти (3π/2 < x < 2π).

Итак, мы получили четыре возможных значения для угла x, которые удовлетворяют уравнению tg(2x) * tg(x) = -3:

1. x = π/6 (30°) - первая четверть, tg(x) = √3
2. x = 5π/6 (150°) - третья четверть, tg(x) = √3
3. x = -π/6 (-30°) - четвертая четверть, tg(x) = -√3
4. x = -5π/6 (-150°) - вторая четверть, tg(x) = -√3

Убедитесь, что угол 2x также находится в разрешенных диапазонах угла x, иначе некоторые из этих значений могут быть отброшены.