Question

Найдите точки экстремума функции y=x+✓4-x​

Answer 1

находим производную:

y' = 1 - 1/(2✓(4-x))

Приравниваем 0

0 = 1 - 1/(2✓(4-x))

1 = 1/(2✓(4-x))

(2✓(4-x)) = 1

✓(4-x) = 1/2

4-х = 1/4

х = 15/4

Проверяем: Меняет ли производная знак в этой точке

Меняет. С плюса на минус, значит точка х = 15/4 - экстремум, а именно точка локального максимума

Answer 2

Для поиска точек экстремума функции, нужно сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю. Точки, в которых производная равна нулю, могут быть точками экстремума. Для данной функции y = x + √(4 - x), найдем производную и решим уравнение:

Дано: y = x + √(4 - x)

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x: dy/dx = d/dx (x + √(4 - x))

Для нахождения производной, используем правила дифференцирования: dy/dx = 1 + d/dx (√(4 - x))

Шаг 2: Найдем производную √(4 - x): d/dx (√(4 - x)) = (1/2)(4 - x)^(-1/2) * d/dx (4 - x) d/dx (√(4 - x)) = (1/2)(4 - x)^(-1/2) * (-1) [производная (4 - x)]

dy/dx = 1 - (1/2)*(4 - x)^(-1/2)

Шаг 3: Приравняем производную к нулю и решим уравнение для поиска точек экстремума: 1 - (1/2)*(4 - x)^(-1/2) = 0

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю и могут быть точками экстремума:

1 - (1/2)(4 - x)^(-1/2) = 0 (1/2)(4 - x)^(-1/2) = 1 (4 - x)^(-1/2) = 2

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

4 - x = 4 -x = 0 x = 0

Получили x = 0.

Шаг 4: Проверим характер точки x = 0, подставив его во вторую производную:

d^2y/dx^2 = d/dx (1 - (1/2)(4 - x)^(-1/2)) d^2y/dx^2 = (1/2)(4 - x)^(-3/2) * (-1) * (-1) [производная (4 - x)]

d^2y/dx^2 = (1/2)*(4 - x)^(-3/2)

Теперь подставим x = 0:

d^2y/dx^2 = (1/2)(4 - 0)^(-3/2) d^2y/dx^2 = (1/2)(4)^(-3/2) d^2y/dx^2 = (1/2)*(1/8) d^2y/dx^2 = 1/16

Так как вторая производная d^2y/dx^2 > 0 при x = 0, то у нас есть точка минимума в точке x = 0.

Итак, у функции y = x + √(4 - x) есть точка минимума при x = 0.