Question

Докажите что 45^3+25^3 делится на 70

Answer 1

Ответ на фото///////////////

Answer 2

Вопрос: 45^3+25^3 делится на 70?

Решение: $\bf 1)45^{3}+25^{3}=(45\times45\times45)+(25\times25\times25)=91125+15625=106750; \\ \bf 2)106750\div 70=1525.$

Ответ. Да.

Answer 3

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся свойствами арифметики и модульного деления.

Для того чтобы доказать, что выражение $45^3 + 25^3$ делится на 70, нужно показать, что его остаток при делении на 70 равен нулю.

По малой теореме Ферма, если $p$ - простое число, и $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Теперь давайте заметим следующее:

$45^3 \equiv (-5)^3 \equiv -125 \pmod{70}$ $25^3 \equiv (-5)^3 \equiv -125 \pmod{70}$

Теперь, чтобы найти остаток от деления $45^3 + 25^3$ на 70, мы просто складываем остатки от деления каждого слагаемого:

$45^3 + 25^3 \equiv (-125) + (-125) \equiv -250 \pmod{70}$

Однако мы хотим показать, что это делится на 70, то есть имеет остаток 0, поэтому перепишем это с учётом кратности 70:

$45^3 + 25^3 \equiv -250 \equiv -4 \times 70 \equiv 0 \pmod{70}$

Таким образом, мы показали, что $45^3 + 25^3$ делится на 70.