Question

Периметр прямоугольника равен 16 см. Какими должны быть его размеры, чтобы площадь была наибольшей?

Answer 1

Квадрат 4 см × 4 см.

P= 2×(a+b) = 16

a+b = 8

a = 8 - b.

S = a×b = (8 - b)×b

S(b) = -b^2+8b ;

Найдём S'(b)

S'(b) = 8-2b

S'(b) = 0 <=> 8-2b = 0

2b = 8

b = 4

a = 8 - b = 4

Итак, a = b = 4 - квадрат со стороной 4 см.

Answer 2

Чтобы определить, какими должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, нам необходимо использовать некоторую математическую оптимизацию. Давайте обозначим стороны прямоугольника как x и y (в см).

Периметр прямоугольника равен 2x + 2y = 16 см. Можем переписать уравнение в виде: x + y = 8 (делим обе стороны на 2).

Теперь обозначим площадь прямоугольника как S (в квадратных сантиметрах): S = x * y.

Мы хотим максимизировать S при условии, что x + y = 8.

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановки. Из уравнения x + y = 8 можно выразить одну из переменных и подставить в уравнение для площади:

y = 8 - x.

Теперь подставим y в уравнение для площади:

S = x * (8 - x) = 8x - x^2.

Для нахождения максимальной площади, найдем значение x, при котором производная функции S по x равна нулю:

dS/dx = 8 - 2x.

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значение x:

8 - 2x = 0, 2x = 8, x = 4.

Теперь, чтобы найти y, подставим значение x в уравнение y = 8 - x:

y = 8 - 4 = 4.

Таким образом, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей при периметре 16 см, его стороны должны быть равны 4 см и 4 см. Это будет квадрат, который имеет наибольшую площадь среди всех прямоугольников с заданным периметром.