Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^3-x,y=0,x=-1 и x=1​

Answer 1

$S=\int\limits^1_{-1} {x^3-x} \, dx =\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}|^1_{-1}=1/4-1/2-(1/4-1/2)=0$

Вообще f(x)=x^3-x; f(-x)=-x^3+x--> f(x)=-f(-x)

То есть функция нечётная и поэтому в том числе на равных отрезках от начала координат в разные стороны сумма площадей с двух половин будет равна 0.

Ответ: 0.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нужно проинтегрировать абсолютное значение функции y = x^3 - x на интервале [-1, 1] и затем вычислить это значение.

Площадь фигуры будет равна:

$\text{Площадь} = \int_{-1}^{1} |x^3 - x| \, dx$

Заметим, что функция $y = x^3 - x$ имеет корни при $x = -1$ и $x = 0$, а также меняет знак на интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$. Поэтому, чтобы выразить данную функцию без модуля на интервалах $[-1, 0]$ и $[0, 1]$, разобъём интеграл на два интервала:

$\text{Площадь} = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx + \int_{0}^{1} -(x^3 - x) \, dx$

Вычислим каждый из этих интегралов:

$\int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^{0} = \left(\frac{1}{4}(0)^4 - \frac{1}{2}(0)^2\right) - \left(\frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{1}{2}(-1)^2\right) = -\frac{1}{4}$

$\int_{0}^{1} -(x^3 - x) \, dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1} = \left(-\frac{1}{4}(1)^4 + \frac{1}{2}(1)^2\right) - \left(-\frac{1}{4}(0)^4 + \frac{1}{2}(0)^2\right) = \frac{1}{4}$

Теперь сложим результаты:

$\text{Площадь} = \left(-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4}\right) = 0$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3 - x$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 1$, равна 0.