Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x^2 и 2x-x^2:

Answer 1

Да, решить можно с помощью интегралов. Для себя рисуем графики функий: у=-х^2+2х это перевернутая парабола, у=-х - прямая. Точки пересечения графиков: х=0 и х=3. Видим, что данные графики образуют ограниченную фигуру - сверху дуга параболы, снизу - часть прямой.  

 

Площадь = интеграл от 0 до 3 ( -х^2+2х - (-х) ) = интеграл от 0 до 3 ( -х^2+3х ) = ( -х^3/3+3х^2/2 ) | от 0 до 3 = -3^3/3+3*3^2/2 = -9+27/2 = 4,5

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя функциями, необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл от разности этих функций в пределах этих точек.

Дано две функции: y1 = x^2 и y2 = 2x - x^2.

1. Найдем точки пересечения этих функций: Приравниваем уравнения: x^2 = 2x - x^2. 2x^2 = 2x. x^2 - x = 0. x(x - 1) = 0.

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

2. Теперь найдем разность этих функций: y2 - y1 = (2x - x^2) - x^2 = 2x - 2x^2.

3. Вычислим определенный интеграл этой разности функций от x = 0 до x = 1 для нахождения площади ограниченной фигуры:

Площадь = ∫[0 to 1] (2x - 2x^2) dx

Вычислим интеграл: Площадь = [x^2 - (2/3)x^3] |[0 to 1]

Площадь = (1^2 - (2/3)*1^3) - (0^2 - (2/3)*0^3)

Площадь = (1 - (2/3)) - (0 - 0)

Площадь = 1/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями x^2 и 2x - x^2, равна 1/3 квадратных единицы.