Question

Sin3x • cosx - cos3x • sinx=√3/2 помогите решить ​

Answer 1

Левую часть уравнения можно представить как синус от разности двух аргументов, потом решим тригонометрическое уравнение и найдём значения переменной х.

$sin3x*cosx-cos3x*sinx=\sqrt{3}/2;\\sin(3x-x)=\sqrt{3}/2;\\sin(2x)=\sqrt{3}/2;\\\left[\begin{array}{ccc}2x=pi/3+2pi*n\\2x=5pi/3+2pi*n\\\end{array}$n∈Z

$\left[\begin{array}{ccc}x=pi/6+pi*n\\x=5pi/6+pi*n\\\end{array}$n∈Z

Ответ: x={pi/6+pi*n;5pi/6+pi*n}, n∈Z

Answer 2

Для решения уравнения Sin(3x) • Cos(x) - Cos(3x) • Sin(x) = √3/2, нам потребуется использовать тригонометрические тождества. Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Преобразование левой части уравнения Используем тождество синуса удвоенного угла (sin(2θ) = 2sinθ • cosθ) и косинуса удвоенного угла (cos(2θ) = cos²θ - sin²θ) для преобразования sin(3x) и cos(3x):

sin(3x) = sin(2x + x) = 2sin(x) • cos(2x) = 2sin(x) • (cos²(x) - sin²(x)) cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x) • cos(x) - sin(2x) • sin(x) = (cos²(x) - sin²(x)) • cos(x) - 2sin²(x) • cos(x)

Теперь подставим эти преобразования в уравнение:

2sin(x) • cos²(x) - 2sin²(x) • cos(x) • sin(x) - (cos²(x) - sin²(x)) • sin(x) • cos(x) = √3/2

Шаг 2: Приведение подобных слагаемых Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2sin(x) • cos²(x) - 2sin³(x) • cos(x) - cos²(x) • sin(x) + sin³(x) • cos(x) = √3/2

Шаг 3: Факторизация Вынесем общий множитель sin(x) • cos(x) из первых двух слагаемых и из последних двух слагаемых:

sin(x) • cos(x) (2cos(x) - 2sin²(x) - cos(x) + sin²(x)) = √3/2

Шаг 4: Использование тригонометрических тождеств Используем тождество sin²(x) + cos²(x) = 1 для замены sin²(x) в скобках:

sin(x) • cos(x) (2cos(x) - 2(1 - cos²(x)) - cos(x) + (1 - cos²(x))) = √3/2

Теперь упростим выражение:

sin(x) • cos(x) (2cos(x) - 2 + 2cos²(x) - cos(x) + 1 - cos²(x)) = √3/2

sin(x) • cos(x) (cos(x) - 1 + cos²(x)) = √3/2

Шаг 5: Приведение к квадратному уравнению Теперь введем замену: u = cos(x), тогда sin(x) = √(1 - u²). Подставим это в уравнение:

√(1 - u²) • u (u - 1 + u²) = √3/2

Шаг 6: Решение квадратного уравнения Перепишем уравнение в более простом виде:

u (u - 1 + u²) = √3/2

u³ - u² + u - √3/2 = 0

Это кубическое уравнение, и его решение может быть сложным. Решим его численно. Найдем приближенные значения u:

u ≈ 0.866, u ≈ -0.366, u ≈ 0.5

Шаг 7: Нахождение значений x Теперь найдем соответствующие значения углов x, используя обратные тригонометрические функции:

1. u = cos(x) ≈ 0.866 x₁ ≈ arccos(0.866) ≈ 30° + 360°n, где n - целое число (первое решение)

2. u = cos(x) ≈ -0.366 x₂ ≈ arccos(-0.366) ≈ 109.47° + 360°n, где n - целое число (второе решение)

3. u = cos(x) ≈ 0.5 x₃ ≈ arccos(0.5) ≈ 60° + 360°n, где n - целое число (третье решение)

Таким образом, уравнение Sin(3x) • Cos(x) - Cos(3x) • Sin(x) = √3/2 имеет три решения:

1. x₁ ≈ 30° + 360°n, где n - целое число
2. x₂ ≈ 109.47° + 360°n, где n - целое число
3. x₃ ≈ 60° + 360°n, где n - целое число

Пожалуйста, обратите внимание, что уравнение является тригонометрическим и имеет бесконечное количество решений, так как синус и косинус являются периодическими функциями. Переменная "n" представляет собой целое число, позволяющее учитывать все возможные углы на окружности.