Question

Найти первообразную,график которой проходит через точку^ 1. f(X)=8x^3-3x^2+4x-2 A(-1 , 2) 2.f(x)=3cos3x A( п\18, 1)

Answer 1

$\displaystyle 1)\quad f(x)=8x^3-3x^2+4x-2\\\\\text{F}(x)=\int\limits {(8x^3-3x^2+4x-2)} \, dx =\frac{8x^4}4-\frac{3x^3}3+\frac{4x^2}2-2x+\text{C}=\\\\=2x^4-x^3+2x^2-2x+\text{C}, \quad \text{A}(-1,2)\\\\2=2\cdot(-1)^4-(-1)^3+2\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)+\text{C}\\\\2=2+1+2+2+\text{C}\\\\\text{C}+5=0\\\\\text{C}=-5\\\\\boxed{\text{F}(x)=2x^4-x^3+2x^2-2x-5}$

$\displaystyle 2)\quad f(x)=3\cos(3x)\\\\\text{F}(x)=\int\limits {3\cos(3x)} \, dx =\int\limits {\cos(3x)} \, d(3x)=\sin(3x)+\text{C}, \quad A\bigg(\frac{\pi}{18},\, 1\bigg)\\\\1=\sin\bigg(3\cdot\frac{\pi}{18}\bigg)+\text{C}\\\\\text{C}=1-\sin\bigg(\frac{\pi}6\bigg)=1-\frac{1}2=\frac{1}2\\\\\boxed{\text{F}(x)=\sin(3x)+\frac{1}2}$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции, проходящей через заданную точку, мы должны найти функцию, у которой производная равна данной функции, и затем использовать начальное условие для определения конкретной функции. Давайте рассмотрим каждый случай:

1. Найти первообразную для функции f(x) = 8x^3 - 3x^2 + 4x - 2, проходящей через точку A(-1, 2).

Для нахождения первообразной этой функции, найдем интеграл от функции f(x):

∫(8x^3 - 3x^2 + 4x - 2) dx

Интегрирование каждого члена по отдельности:

∫8x^3 dx - ∫3x^2 dx + ∫4x dx - ∫2 dx

Теперь найдем первообразные для каждого члена:

1. ∫8x^3 dx = (8/4)x^4 + C1 = 2x^4 + C1
2. ∫-3x^2 dx = (-3/3)x^3 + C2 = -x^3 + C2
3. ∫4x dx = 4/2 x^2 + C3 = 2x^2 + C3
4. ∫-2 dx = -2x + C4

Здесь C1, C2, C3 и C4 - это произвольные константы интегрирования.

Теперь объединим эти результаты:

∫(8x^3 - 3x^2 + 4x - 2) dx = 2x^4 - x^3 + 2x^2 - 2x + C

Где C = C1 + C2 + C3 + C4 - это общая константа интегрирования.

Теперь используем начальное условие f(-1) = 2:

2 = 2(-1)^4 - (-1)^3 + 2(-1)^2 - 2(-1) + C

2 = 2 - (-1) + 2 - (-2) + C

2 = 7 + C

C = -5

Таким образом, первообразная функции f(x), проходящая через точку A(-1, 2), равна:

F(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 - 2x - 5

2. Найти первообразную для функции f(x) = 3cos(3x), проходящей через точку A(π/18, 1).

Точно так же, как и в предыдущем случае, найдем интеграл от функции f(x):

∫3cos(3x) dx

Интегрирование cos(3x):

∫3cos(3x) dx = (3/3)sin(3x) + C = sin(3x) + C

Где C - это константа интегрирования.

Теперь используем начальное условие f(π/18) = 1:

1 = sin(3(π/18)) + C

1 = sin(π/6) + C

1 = 1/2 + C

C = 1/2

Таким образом, первообразная функции f(x), проходящей через точку A(π/18, 1), равна:

F(x) = sin(3x) + 1/2