Question

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 160, а сумма второго и третьего члена равна 40. Найдите первые три члена этой прогрессии

Answer 1

Решение задания приложено. 2 способа. Второй мне больше нравится.

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен "а", а знаменатель прогрессии равен "q" (поскольку это геометрическая прогрессия).

Тогда, второй член прогрессии будет "а * q", а третий член - "а * q^2".

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. а + а * q = 160 (сумма первого и второго членов равна 160)
2. а * q + а * q^2 = 40 (сумма второго и третьего членов равна 40)

Давайте решим эту систему уравнений.

1. а + а * q = 160 Можем вынести общий множитель "а": а(1 + q) = 160 Теперь выразим "а" через "q": а = 160 / (1 + q) ...........(уравнение 1)

2. а * q + а * q^2 = 40 Теперь воспользуемся выражением для "а" из уравнения 1: (160 / (1 + q)) * q + (160 / (1 + q)) * q^2 = 40 Распространим дроби: 160q / (1 + q) + 160q^2 / (1 + q) = 40 Теперь объединим дроби: (160q + 160q^2) / (1 + q) = 40 Умножим обе части уравнения на (1 + q), чтобы избавиться от знаменателя: 160q + 160q^2 = 40 * (1 + q) 160q + 160q^2 = 40 + 40q Теперь перенесем все в одну сторону: 160q^2 - 120q - 40 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить. После нахождения значения "q", мы сможем вычислить "а" с помощью уравнения 1.

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант D = b^2 - 4ac D = (-120)^2 - 4 * 160 * (-40) D = 14400 + 25600 D = 40000

Корни квадратного уравнения:

q1 = (-b + √D) / 2a q1 = (120 + √40000) / 2 * 160 q1 = (120 + 200) / 320 q1 = 320 / 320 q1 = 1

q2 = (-b - √D) / 2a q2 = (120 - √40000) / 2 * 160 q2 = (120 - 200) / 320 q2 = -80 / 320 q2 = -1/4

Так как геометрическая прогрессия имеет положительный знаменатель, то отбрасываем значение q2.

Теперь найдем значение "а" с помощью уравнения 1: а = 160 / (1 + q1) а = 160 / (1 + 1) а = 160 / 2 а = 80

Таким образом, первые три члена геометрической прогрессии равны:

1. а = 80
2. а * q1 = 80 * 1 = 80
3. а * q1^2 = 80 * 1^2 = 80

Первые три члена прогрессии: 80, 80, 80.