Question

Розв'язати рівняння 1) cos 3x cos 6x = cos 4x cos 7x

Answer 1

$Cos3xCos6x=Cos4xCos7x\\\\\frac{Cos(3x+6x)+Cos(3x-6x)}{2}=\frac{Cos(4x+7x)+Cos(4x-7x)}{2}\\\\Cos9xCos3x=Cos11xCos3x\\\\Cos9xCos3x-Cos11xCos3x=0\\\\Cos3x(Cos9x-Cos11x)=0\\\\Cos3x*(-2Sin\frac{9x+11x}{2} Sin\frac{9x-11x}{2})=0\\\\Cos3xSin10xSinx=0$

$1)Cos3x=0\\\\3x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in z\\\\x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n }{3} ,n\in z\\\\2)Sin10x=0\\\\10x=\pi n,n\in z\\\\x=\frac{\pi n }{10},n\in z\\\\3)Sinx=0\\\\x=\pi n,n\in z$

Ответ :

$\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n }{3},n\in z;\frac{\pi n }{10},n\in z$

Answer 2

Для розв'язання даного тригонометричного рівняння використаємо тригонометричні тотожності, зокрема тотожність про добуток косинусів:

cos(a) * cos(b) = (1/2) * [cos(a + b) + cos(a - b)]

Застосуємо цю тотожність до лівої та правої частини рівняння:

cos(3x) * cos(6x) = (1/2) * [cos(3x + 6x) + cos(3x - 6x)] = (1/2) * [cos(9x) + cos(-3x)]

cos(4x) * cos(7x) = (1/2) * [cos(4x + 7x) + cos(4x - 7x)] = (1/2) * [cos(11x) + cos(-3x)]

Тепер рівняння стає:

(1/2) * [cos(9x) + cos(-3x)] = (1/2) * [cos(11x) + cos(-3x)]

Зверніть увагу, що частка "cos(-3x)" є спільною у обох частинах рівняння, тому можемо її скоротити з обох боків рівняння:

(1/2) * cos(9x) = (1/2) * cos(11x)

Тепер поділимо обидві частини рівняння на (1/2), щоб збільшити чіткість:

cos(9x) = cos(11x)

Тепер ми маємо рівняння для косинусів з однаковими значеннями, і ми можемо знайти значення x, використовуючи властивості косинуса. Відомо, що косинус є періодичною функцією із періодом 2π, тобто:

cos(a) = cos(a + 2πk), де k - ціле число.

Таким чином, щоб розв'язати рівняння, треба рівняння для аргументів косинусів рівняти один одному:

9x = 11x + 2πk, де k - ціле число.

Тепер розв'яжемо рівняння для x:

2πk = 2x x = πk

Таким чином, розв'язками рівняння є x = πk, де k - ціле число.