Question

Докажите, что число ((11^2019)+(19^2019)) делится на 3 и на 5

Answer 1

В решении использованы свойства сравнения чисел по модулю

Answer 2

Для доказательства, что число ((11^2019)+(19^2019)) делится на 3 и на 5, мы можем воспользоваться теоремами остатка.

1. Деление на 3: Теорема остатка для деления на 3 гласит: Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Рассмотрим числа 11 и 19: 1 + 1 = 2 1 + 9 = 10, а 1 + 0 = 1

Таким образом, 11 и 19 делятся на 3, так как сумма их цифр делится на 3.

Теперь рассмотрим число 2019: 2 + 0 + 1 + 9 = 12

Также 2019 делится на 3, так как сумма его цифр делится на 3.

Итак, ((11^2019)+(19^2019)) представляет собой сумму двух чисел, каждое из которых делится на 3. Согласно свойству деления суммы на число, которое делит каждое из слагаемых, ((11^2019)+(19^2019)) тоже будет делиться на 3.

2. Деление на 5: Теорема остатка для деления на 5 гласит: Если число заканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.

Рассмотрим числа 11 и 19. Они не заканчиваются на 0 или 5, поэтому необходимо проверить, заканчивается ли число 2019 на 0 или 5.

2019 заканчивается на 9, а не на 0 или 5. Но заметим, что 2019 = 2015 + 4, и 2015 делится на 5 (заканчивается на 5).

Таким образом, ((11^2019)+(19^2019)) представляет собой сумму двух чисел, одно из которых (19^2019) заканчивается на 9, но второе (11^2019) представляется в виде (10 + 1)^2019, и все степени числа 10 заканчиваются на 0, кроме первой степени (10^1 = 10).

Таким образом, ((11^2019)+(19^2019)) заканчивается на 9 + 10 = 19, что также не заканчивается на 0 или 5. Однако, ((11^2019)+(19^2019)) представляет собой сумму числа, заканчивающегося на 9 (19^2019), и числа, заканчивающегося на 0 (10 из (10 + 1)^2019).

Согласно свойству деления суммы на число, которое делит каждое из слагаемых, ((11^2019)+(19^2019)) также будет делиться на 5.

Таким образом, мы доказали, что число ((11^2019)+(19^2019)) делится как на 3, так и на 5.