Question

Докажите что при любом целом n значение выражения:n³-n кратно 6​

Answer 1

n³-n=n(n²-1)=n(n-1)(n+1)

произведение трех последовательных натуральных чисел.

Среди них одно кратно 3, среди двух из них одно кратно 2.

Все произведение кратно 6

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $n^3 - n$ кратно 6 для любого целого числа $n$, можно воспользоваться методом математической индукции. Метод математической индукции — это математический прием, который используется для доказательства утверждений для всех натуральных чисел (в данном случае для всех целых чисел $n$).

Шаг 1: Проверка базового случая Для начала, проверим базовый случай $n = 1$: $n^3 - n = 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0$

0 кратно 6, поскольку $0 = 6 \times 0$.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого целого числа $k$, то есть $k^3 - k$ кратно 6.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение верно для числа $k + 1$. Для этого вычислим $(k + 1)^3 - (k + 1)$ и покажем, что это выражение также кратно 6.

$(k + 1)^3 - (k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k$

Заметим, что $k^3 - k$ кратно 6 согласно нашему предположению индукции.

Теперь, докажем, что $3k^2 + 2k$ также кратно 6:

$3k^2 + 2k = k(3k + 2)$

Здесь у нас есть произведение двух целых чисел, и одно из них равно $k$. Заметим, что произведение любых двух последовательных целых чисел всегда кратно 2. Кроме того, поскольку $k$ — целое число, то $3k$ будет кратно 3.

Таким образом, $3k^2 + 2k$ представляет собой произведение двух целых чисел и, следовательно, кратно 6.

Поскольку и $k^3 - k$, и $3k^2 + 2k$ кратны 6, то и их сумма $(k + 1)^3 - (k + 1)$ также кратна 6.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $k$, то оно также верно для $k + 1$.

Так как базовый случай $n = 1$ верен, и мы доказали, что если утверждение верно для $k$, то оно верно и для $k + 1$, то согласно методу математической индукции, утверждение верно для всех целых чисел $n$.

Таким образом, $n^3 - n$ кратно 6 для любого целого $n$.